Question

已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且f(x)=g(x+1)若g(1)=2，求g(2011)

Answer 1

一楼做得正确，确有的地方不够详细
已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且f(x)=g(x+1)若g(1)=2，求g(2011)
解析：∵函数f(x)是R上的偶函数，∴f(-x)=f(x)
∵f(x)=g(x+1)==>f(-x)=g(1-x)
∴g(x+1)=g(1-x)
令x=1-x
代入得g((1-x)+1)=g(2-x)
g(1-(1-x))=g(x)
∴g(x)=g(2-x)
∴g(-x)=g(2-(-x)=g(x+2)
∵g(x)是R上的奇函数,∴g(-x)=-g(x)
∴g(x)=-g(x+2)==>g(x+2)=-g(x)
∴g(x+2+2)=-g(x+2)
即g(x)=-g(x+2)=g(x+4)
∴g(x)是周期为4的函数
∴g(2011)=g(4*503-1)
=g(-1)=-g(1)=-2

追问

是怎么得出f(-x)=g(1-x)的，我不清楚，能否更详细些？

追答

∵f(x)=g(x+1)，用-x替换里面的x得f(-x)=g(1-x)

Answer 2

已知函数f(x)是R上的偶函数，则f(-x)=f(x)
由f(x)=g(x+1)
得f(-x)=g(1-x)
则g(x+1)=g(1-x)
即g(x)=g(2-x)
则g(-x)=g(x+2)
因g(x)是R上的奇函数
则g(-x)=-g(x)
所以g(x)=-g(x+2)=g(x+4)
故g(x)是周期为4的函数
所以g(2011)=g(4*503-1)
=g(-1)
=-g(1)
=-2

追问

原因，能否更详细一些，我刚上高中

追答

你仔细看吧，看清里面的逻辑关系，我没有跳越的。
本题可能好多人理不清，我也破费了一点功夫。
这比有些标准答案还详细的。

Answer 3

答案应该为-2
咱们就其中的值来分析
2=g(1)=g(0+1)=f(0)
-2=g(-1)=g(-2+1)=f(-2) g(x)为奇 g(-1)=-g(1)
0=g(o)=g(-1+1)=f(-1)=f(1) f(x)为偶 f(-1)=f(1) g(x)为奇g(0)=0
所以f(x)为 2 0 -2 0 以4为周期的循环函数 f(0)=2
g(x)为 0 2 0 -2 以4为周期的循环函数 g(0)=0 g(x)图像为f(x)右移1
所以......

Answer 4

g(-x)=f(-x-1),g(-x)=g(x),所以f(x-1)=f(-x-1),因为f(x)是奇函数，f(-x-1)=-f(x+1),所以f(x-1)=-f(x+1),f(x)=-f(x+2),所以f(x)=f(x+4)，所以f(x)的周期是4，答案是2