Question

已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=an(an+1)(n∈N)(2)是否存在正整

已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=an(an+1)(n∈N)
（1）求数列{an}的通项
（2）是否存在正整数p、q，使不等式1/√a1+1/√a2+…+1/√an>2(√(pn+q)-1)对所有正整数均成立，并证明你的结论

Answer 1

2a(n)=2S(n)-2S(n-1)=a(n)(a(n)+1)-a(n-1)(a(n-1)+1)
a(n)^2-a(n)-a(n-1)^2-a(n-1)=0
(a(n)+a(n-1))(a(n)-a(n-1)-1)=0
各项均为正数的数列{an}
a(n)=a(n-1)+1
2S(1)=2a(1)=a(1)(a(1)+1)
a(1)=1
a(n)=n
1/√n=2/(2√n)>2/(√n+√(n+1))=2(√(n+1)-√n) 解题的关键不等式
累加上式可得1/√a1+1/√a2+…+1/√an>2(√2-√1+√3-√2+...+√(n+1)-√n)=2(√(n+1)-1)
所以p=1 q=1即可