Question

如图，四边形ABCD为矩形，且AD=2,AB=1,PA⊥平面ABCD,E为BC上的动点

如图，四边形ABCD为矩形，且AD=2,AB=1,PA⊥平面ABCD,E为BC上的动点
（1）当E为BC的中点时，求证：PE⊥DE
(2)设PA=1,在线段BC上存在这样的点E，使得二面角P-ED-A的大小为π/4，试确定点E的位置

Answer 1

四边形ABCD为矩形，且AD=2,AB=1,PA⊥平面ABCD,E为BC上的动点
（1）当E为BC的中点时，AE²=ED²=2,
PE²=PA²+AE²=PA²+2,
PD²=PA²+AD²=PA²+4=PA²+2+2=PE²+ED²
故 PE⊥DE
(2)设PA=1,在线段BC上存在这样的点E，使得二面角P-ED-A的大小为π/4，
当CE=根号3时,二面角P-ED-A的大小为π/4
易证角ADE=30, 作AF垂直并交AE于F.AF=1, AF垂直于DE, PA垂直于DE, 故DE垂直于平面AEP,由此而来PF垂直于DE, 角PFA是P-ED-A的二面角,不是PA=AF=1,角PFA=45

Answer 2

第一问简单 DE垂直PA 通过勾股定理证明DE垂直AE 所以DE垂直面PAE 所以DE垂直PE
第二问过A点作AF垂直DE 连接PF 同上证明PF垂直DE 所以角PFA就是二面角等于π/4 因为PA垂直AF 所以AF等于PA等于1 在三角形AFD中 求出角ADF等于30度 角DEC等于角ADF等于30度 CE＝根号3　所以E点在线段BC上距离C点根号3的位置