Question

等差数列与等比数列的综合问题，

设等差数列{an}的前n项和为Sn,公比是整数的等比数列{bn}的前n项和为Tn，已知a1=1,b1=3,a2+b2=8,T3-S3=15
(1) 求{an}和{bn}的通项公式
(2)若数列{cn}满足a1cn+a2c(n-1)+a3c(n-2)+a4c(n-3)+...+a(n-1)c2+anc1=2^(n+1)-n-2 对任意正整数n都成立，求证数列{Cn}是等比数列。
打错了，，是{Bn}公比为正数，

Answer 1

设等差数列公差为d，等比数列公比为q
a2+b2=a1+d+b1×q=1+d+3q=8
d=7-3q
T3-S3
=b1+b2+b3-a1-a2-a3
=B1(1+q+q^2)-(3A1+3d)
=3(1+q+q^2)-(3+3d)
=15
q+q^2-d=5
q+q^2-7+3q=5
q^2+4q-12=0
(q+6)(q-2)=0
q=-6(舍去，公比是正数）或q=2
所以q=2
d=7-3q=7-3*2=1

an=a1+(n-1)d
=1+(n-1)*1
=n

bn=b1q^(n-1)
=3*2^(n-1)

2.
a1cn+a2c(n-1)+a3c(n-2)+a4c(n-3)+...+a(n-1)c2+anc1
=cn+2c(n-1)+3c(n-2)+4c(n-3)+...+(n-1)c2+nc1
cn+2c(n-1)+3c(n-2)+4c(n-3)+...+(n-1)c2+nc1=2^(n+1)-n-2 ...........1
c(n-1)+2c(n-2)+3c(n-3)+...+(n-2)c2+(n-1)c1=2^n-(n-1)-2(n>=2) ............2
1式-2式得
cn+c(n-1)+c(n-2)+....+c3+c2+c1=2^n-1(n>=2).....................3
所以c(n-1)+c(n-2)+....+c3+c2+c1=2^(n-1)-1(n>=3) ...............4
3式-4式得
cn=2^(n-1)(n>=3)
当n=1,2时，适合上式
所以cn=2^(n-1)
即数列{Cn}是等比数列

Answer 2

S3=a1+a2+a3=3a2（a1+a3=2a2）
T3=b1+b2+b3=3+b2+b3
a2=8-b2

T3-S3=3+b2+b3-3a2=3+b2+b3-24+3b2=15
4b2+b3-36=0
4b1q+b1q^2-36=0
q^2+4q-12=0
(q+6)(q-2)=0
q=-6 q=2
b2=6 b2=-18
a2=2 a2=26
an=n bn=3*2^(n-1) 或 an=25n-24 bn=3*(-6)^(n-1)

我带入an=n为例证明第二问 另一种情况同样道理 太麻烦 不写了
已知1cn+2c(n-1)+3c(n-2)+4c(n-3)+...+(n-1)c2+nc1=2^(n+1)-n-2
带入n=n-1 有1c(n-1)+2c(n-2)+3c(n-3)+...+(n-2)c2+(n-1)c1=2^n-n-1
上式减下式 得cn+c(n-1)+c(n-2)+c(n-3)+...+c2+c1=2^(n+1)-2^n+1=2^n-1
cn+c(n-1)+c(n-2)+c(n-3)+...+c2+c1=2^n-1
带入n=n-1 得c(n-1)+c(n-2)+c(n-3)+...+c2+c1=2^(n-1)-1
上式减下式得 cn=2^n-2^(n-1)=2^(n-1)
所以得证 {Cn}是 c1=1 q=2的等比