Question

若log2(9x)+log2(x-1/3)=1,则lim（1+x+x^2+……+x^n）=?

Answer 1

由对数的运算法则可知：log2(9x) + log2(x-1/3) = log2[9x(x-1/3)] 。
又根据对数的性质可知，1可以写成：1 = log2(2)
从而log2[9x(x-1/3)] = log2(2) 即：9x(x-1/3) = 2
9x^2 - 3x -2 = 0
十字交叉：(3x-2)(3x+1) = 0
x1=2/3 x2= -1 (有两个解就有2种情况)
由等比级数求和的公式可知：1+x+x^2+...+x^n = x^0 + x^1 +x^2 + ... +x^n
= {1 * [ 1 - x^(n+1) ]} / (1-x)
=[1 - x^(n+1) ]/(1-x)
( 情况1)： 当x1=2/3时， 计算得 [1-x^(n+1)]/(1-x) = (1/3)^n，
于是，当n趋于无穷大，lim(1/3)^n = 0

(情况2)： 当x2=-1时， 计算得 [1-x^(n+1)]/(1-x) = [1- (-1)^(n+1)]/2，
于是，对n的奇偶性讨论：
当n取偶数时，lim { [1- (-1)^(n+1)]/2 } = [1- (-1)]/2 = 1
当n取奇数时，lim { [1- (-1)^(n+1)]/2 } = (1-1)/2 = 0

Answer 2

若log2(9x)+log2(x-1/3)=1,
x>0
x-1/3>0
所以有：x>1/3
log2[(9x)(x-1/3)]=1
(9x)(x-1/3)=2
9x^2-3x-2=0
(3x-2)(3x+1)=0
x=2/3,x=-1/3<0（不合，舍去）
lim（1+x+x^2+……+x^n）
(因为x=2/3<1)
=1/(1-2/3)
=3 (等比数列的公比x=2/3<1时的极限为a/(1-q))