Question

（2004年）已知：如图，P是⊙O外一点，PC切⊙O于点C，割线PO交⊙O于点B、A，且AC=PC.

求证：△PBC≌△AOC；
(2)如果PB=2，点M在⊙O的下半圆上运动（不与A、B重合），求当△ABM的面积最大时，AC·AM的值.

Answer 1

第一个问题：
∵PC切⊙O于C，∴∠PCO＝90°，∴∠PCB＋∠BCO＝90°。······①
∵AB过点O，∴AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO＋∠BCO＝90°。······②
比较①、②，得：∠PCB＝∠ACO。······③
又已知AC＝PC，得：∠CPB＝∠CAO。······④
由③、④，再结合PC＝AC，得：△PBC≌△AOC。

第二个问题：
令⊙O的半径为r，则：OB＝OC＝OA＝OM＝r。
在Rt△PCO中，PO^2＝PC^2＋OC^2，∴（PB＋OB）^2＝AC^2＋OC^2，
∴（2＋r）^2＝AC^2＋r^2，　∴AC^2＝（2＋r）^2－r^2＝4＋4r。

在Rt△ABC中，AB^2＝BC^2＋AC^2，∴（2r）^2＝BC^2＋4＋4r。
∵PC切⊙O于C，∴∠PCB＝∠CAP，又∠CPA＝∠CAP，∴∠PCB＝∠CPA，∴PB＝BC，
∴（2r）^2＝PB^2＋4＋4r，∴4r^2＝4＋4＋4r，∴r^2－r－2＝0，∴（r－2）（r＋1）＝0，
显然，r＞0，∴r＝2。

∵AB是定值，∴当△ABM的面积最大时，有：OM⊥AO。此时：AM＝√2OA＝2√2。
又PC^2＝PB×PA＝PB（PB＋AB）＝2（2＋2）＝8，∴PC＝2√2，∴AC＝2√2。
∴AC×AM＝8。