Question

如图，已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),F1,F2分别是椭圆的左右焦点，A为椭圆上顶点，

直线AF2交椭圆于另一点B。若向量AF2=2向量F2B，向量AF1*向量AB=2分之3，求椭圆方程

Answer 1

A(0，b)，F2(c，0)，F1(-c，0)，设B(x，y)，
则 AF2=(c，-b)，F2B=(x-c，y)，
由AF2=2F2B得 c=2(x-c)，-b=2y，
所以B(3c/2，-b/2)
代入椭圆方程可得 9c^2/(4a^2)+b^2/(4b^2)=1 （1）
又AF1*AB=(-c，-b)*(3c/2，-3b/2)=-3c^2/2+3b^2/2=3/2 (2)
所以，由（1）（2）及 a^2=b^2+c^2可解得 a^2=3，b^2=2，c^2=1，
因此，椭圆方程为 x^2/3+y^2/2=1.