Question

如图，AB是圆心O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F。

1. 求证：EC=DF
2.若AE=1,EF=4,BF=3.求圆心O的直径。

Answer 1

1 证明: 过O点做OH垂直CD H为垂足
因为 OH垂直CD 所以 CH=DH
因为 OH垂直CD AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F 所以 EH=FH
因为 CH=DH EH=FH 所以EC=DF
2 设直线BF交圆于G点 连结 AG
(1) 当CD与AB 不相交时 因为 AB为直径 所以 角AGF=90
则四边形AEFG为矩形 AG=EF=4 FG=AE=1 所以 BG=BF-FG=3-1=2
在直角三角形ABG中 AB平方=AG平方+BG平方=4平方+2平方=20
所以 AB=2倍根号5
(2) 当CD与AB 相交时 因为 AB为直径 所以 角AGF=90
则四边形AEFG为矩形 AG=EF=4 FG=AE=1 所以 BG=BF+FG=3+1=4
在直角三角形ABG中 AB平方=AG平方+BG平方=4平方+4平方=32
所以 AB=4倍根号2

Answer 2

过 O作OH⊥CD于H
∵ O为圆心，CD为弦，OH⊥CD
∴ CH=DH
∵ AE⊥CD，BF⊥CD
∴ AE//BF
∴ OA/OB=EH/FH
∵ OA=OB
∴ EH=FH
∵ CH=DH
∴ EH-CH=FH-DH
即 EC=DF
作 AG⊥BF交BF于G
则 AEFG为矩形，GF=AE=1 AG=EF=4
GB=BF-GF=3-1=2
AB^2=AG^2+BG^2=16+4=20
故圆心O的直径: AB=√20=2√5

Answer 3

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