Question

已知函数f(x)=log4（4^x+1)+kx（K∈R）是偶函数；

已知函数f(x)=log4（4^x+1)+kx（K∈R）是偶函数；设函数g(x)=log4(a*2^x-4/3a）,若函数f(x)与g(x)的图像只有一个交点，求a的值

Answer 1

f(x)=log4（4^x+1)+kx（K∈R）是偶函数，
∴f(-x)=f(x),
即log<4>[4^(-x)+1]+k(-x)=log<4>(4^x+1)+kx,
∴log<4>{[4^(-x)+1]/(4^x+1)}=2kx,
-x=2kx,
k=-1/2.
∴f(x)=log<4>(4^x+1)-x/2,
f(x)与g(x)的图像只有一个交点,
即f(x)-g(x)=log<4>[(4^x+1)/(a*2^x-4a/3)]-x/2=0只有一个根，
∴（4^x+1)/(a*2^x-4a/3)=2^x,
∴a*2^x-4a/3=(4^x+1)/2^x,
∴（a-1)(2^x)^2-(4a/3)*2^x-1=0,
设y=2^x,则（a-1)y^2-(4a/3)y-1=0恰有一个正根，
1）a=1时方程变为-4y-3=0,y=-3/4(舍）；
2）a≠1时△=16a^2/9+4(a-1)=0,
4a^2+9a-9=0,
a=3/4,或-3.
a=3/4时，方程变为（-1/4）y^2-y-1=0,y=-2(舍）；
a=-3时，方程变为-4y^2+4y-1=0,y=1/2,x=-1.
3﹚a≠1时△=16a^2/9+4(a-1)﹥0时,a﹥3/4﹙a≠1﹚,或a﹤-3.
a﹤-3时，（a-1)y^2-(4a/3)y-1=0有两个不等的正根，不合题意；
a﹥3/4﹙a≠1﹚时,3／4﹤a﹤1时（a-1)y^2-(4a/3)y-1=0有两个不等的负根，
a﹥1时，（a-1)y^2-(4a/3)y-1=0有个负根和一个正根；
综上，a=-3. 或a﹥1。

Answer 2

f(x)=log4（4^x+1)+kx（K∈R）是偶函数，
∴f(-x)=f(x),
即log<4>[4^(-x)+1]+k(-x)=log<4>(4^x+1)+kx,
∴log<4>{[4^(-x)+1]/(4^x+1)}=2kx,
-x=2kx,
k=-1/2.
∴f(x)=log<4>(4^x+1)-x/2,
f(x)与g(x)的图像只有一个交点,
即f(x)-g(x)=log<4>[(4^x+1)/(a*2^x-4a/3)]-x/2=0只有一个根，
∴（4^x+1)/(a*2^x-4a/3)=2^x,
∴a*2^x-4a/3=(4^x+1)/2^x,
∴（a-1)(2^x)^2-(4a/3)*2^x-1=0,
设y=2^x,则（a-1)y^2-(4a/3)y-1=0恰有一个正根，
1）a=1时方程变为-4y-3=0,y=-3/4(舍）；
2）a≠1时△=16a^2/9+4(a-1)=0,
4a^2+9a-9=0,
a=3/4,或-3.
a=3/4时，方程变为（-1/4）y^2-y-1=0,y=-2(舍）；
a=-3时，方程变为-4y^2+4y-1=0,y=1/2,x=-1.
综上，a=-3.

Answer 3

（1）根据函数f（x）是偶函数建立等式关系，化简可得 ，从而x=-2kx对x∈R恒成立，即可求出k的值；
（2）要使方程f（x）-m=0有解，转化成求函数的值域，将m分离出来得 ．，然后利用基本不等式 求出m的范围即可．

解答：解：（1）由函数f（x）=log4（4x+1）+kx（x∈R）是偶函数．
可知f（x）=f（-x）
∴log4（4x+1）+kx=log4（4-x+1）-kx（（2分）
即∴log44x=-2kx（4分）
∴x=-2kx对x∈R恒成立．（6分）
∴k= ．（7分）
（2）由 ，
∴ ．（9分）∵ （11分）
∴ （13分）
故要使方程f（x）-m=0有解，m的取值范围： ．（14分）