Question

如图,三角形ABC为等边三角形外的一点,且BD=CD ，角BDC=120度，做角EDF=60度。与两边分别

交于点E、F，连接EF。求证EF=BE+CF。
图：http://zhidao.baidu.com/question/113825276.html

Answer 1

证明：
∵BD=CD，∠BDC=120
∴∠CBD=∠BCD=（180º-120º）÷2=30º
∵⊿ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60º
那么∠ABD=∠ACB=60º+30º=90º
延长AC到P，使PC=BE，连接DP
在⊿EBD和⊿PCD中
∵∠EBD=∠PCD=90º，BE=PC，BD=CD
∴⊿EBD≌⊿PCD（SAS）
∴DE =DP,∠BDE=∠CDP
∵∠PDF=∠PDC+∠CDF=∠BDE+∠CDF=∠BDC-∠EDF=120º-60º=60º
∴∠PDF=∠EDF
又∵ED=PD，FD=FD
∴⊿EDF≌⊿PDF（SAS）
∴EF=FP=FC+CP
∵CP=BE
∴EF=FC+BE

追问

题目中没有说∠EDF=60º啊！！！！
那为什么你说∵∠PDF=∠PDC+∠CDF=∠BDE+∠CDF=∠BDC-∠EDF=120º-60º=60º？？

追答

有啊，
如图,三角形ABC为等边三角形外的一点,且BD=CD ，角BDC=120度，★做角EDF=60度★。与两边分别

追问

太牛了！！我的思路是在EF上截长补短，但是做不出。你是怎么想出来做三角形DCP的啊？能不能说一下具体思路，谢谢！！！！！！！！！！

追答

此题以前作过，证明是角分线，凡是跟角分线有关的题，我们就要首先想到
“角平分线上的点到两边的距离想到”，即作两边垂线，求证两个三角形全等

追问

哦？但是这道题目好像和角平分线没有关系啊？还有，为什么用截长补短会做不出来？谢谢。

追答

这道题和那道题类似，证明前假想，用逆证法 先看看会怎么样，事实上，全等后FD就是角EFC的平分线。明白不，好了再追问你将被扣分的
截长补短我简单证明一下，供你参考
证明：
过D点作直线DO，是∠ODE=∠BDE
∵∠ODE+∠ODF=60º
∠BDE+∠CDF=60º
∴∠ODF=∠CDF
过E点作EM⊥DO于M，过F点作FN⊥OD于N
⊿EBD≌⊿EMD＝＞BD=MD【BE=EM】
⊿CDF≌⊿NDF＝＞CD=ND【FN=FC】
∵BD=CD∴MD=ND
即M，N重合一点。∵∠EMD+∠FND（∠FMD）=180º
∴M（N）在EF上即OD交EF于M（N）
∴EF=EM+FN=BE+CF

Answer 2

⑴因为AB＝AC
∴点A在BC的垂直平分线上
∵DB＝DC
∴点D在BC的垂直平分线上
∴AD垂直平分BC

⑵在AC的延长线上取点G，使CG＝BE，连结DG
∵∠DBE＝90°＝∠DCG，DB＝DC
∴△DBE≌△DCG（sas）
∴∠CDG＝∠BDE，DE＝DG
∵∠FDG＝∠FDC＋∠CDG＝∠FDC＋∠BDE＝∠BDC－∠EDF＝60°＝∠EDF
∴△DEF≌△DGF（sas）
∴∠DFE＝∠DFG
即DF平分∠EFC

⑶∵FE＝FG＝FC＋CG＝FC＋BE
∴△AEF的周长＝AE＋AF＋EF＝AE＋AF＋FC＋BE＝AB＋AC＝2BC

Answer 3

⑴由AB＝AC得点A在BC的垂直平分线上
由DB＝DC得点D在BC的垂直平分线上
∴AD垂直平分BC

⑵在AC的延长线上取点G，使CG＝BE，连结DG
∵∠DBE＝90°＝∠DCG，DB＝DC
∴△DBE≌△DCG
∴∠CDG＝∠BDE，DE＝DG
∵∠FDG＝∠FDC＋∠CDG＝∠FDC＋∠BDE＝∠BDC－∠EDF＝60°＝∠EDF
∴△DEF≌△DGF
∴∠DFE＝∠DFG
即DF平分∠EFC

⑶由⑵知：FE＝FG＝FC＋CG＝FC＋BE
∴△AEF的周长＝AE＋AF＋EF＝AE＋AF＋FC＋BE＝AB＋AC＝2BC