Question

已知定义在区间（-1，1）上的函数f(x)=(mx+n）/（x^2+1)为奇函数，且f(1/2)=2/5(1)求实数m ,n(2)解关于t的

不等式f(t-1)+f(t-2)<0

Answer 1

解：（1）因为函数f(x)=(mx+n)/(x² +1)为奇函数
所以对于定义域内的任意实数x，都有：
f(-x)=-f(x)即(－mx+n)/[(-x)² +1)]=-(mx+n）/(x² +1)
则-mx+n=-mx-n
解得n=0
所以f(x)=mx/(x² +1)
又f(1/2)=2/5，则：
(m/2)/(1/4 +1)=2/5
m/2=1/2
解得m=1
所以m=1，n=0

（2）由第1小题可得函数f(x)＝x/(x²+1)
则不等式f(t-1)+f(t-2)<0中有：
-1<t-1<1 (1)
且-1<t-2<1 (2)
解(1)得：0<t<2
解(2)得：1<t<3
所以1<t<2
又f'(x)=[(x²+1)-x*2x]/(x²+1)²=(1-x²)/(x²+1)²
因为x∈（-1，1），则1-x²<0
所以(1-x²)/(x²+1)²<0
即f'(x)<0
所以函数f(x)在定义域上是减函数
而不等式f(t-1)+f(t-2)<0可化为：f(t-1)<-f(t-2)
即f(t-1)<f(2-t)且1<t<2
所以由函数f(x)的单调性可知：
t-1>2-t 即2t>3
解得t>3/2
所以不等式f(t-1)+f(t-2)<0的解集为｛t | 3/2<t<2｝

Answer 2

解集为｛t | 3/2<t<2｝