Question

高一数学题，看了网上回答，还是不理解过程，求详解（问题见补充）

已知集合M＝{x|1≤x≤10，x∈N}，对它的非空子集A，将A中每个元素k，都乘以(－1)k，再求和(如A={1，3，6}，可求得和为(-1)•1＋(-1)3•3＋(-1)6•6＝2，则对M的所有非空子集，这些和的总和是 ．
解答过程：
在集合M的所有子集中，含有元素1的有2^9=512 个，同理含有元素2、3、…、10的都分别有512个，因此对M的所有非空子集，这些和的总和是2^9(-1+2-3+4+……-9+10)=5*2^9
我的问题是为什么知道含有元素1的有2^9=512 个，就能得出这些和的总和是2^9(-1+2-3+4+……-9+10)=5*2^9？本人数学逻辑思维不好，求解。

Answer 1

为什么知道含有元素1的有2^9个，就能得出这些和的总和2^9(-1+2-3+4+……-9+10)=5*2^9？

我知道怎么解释了.
前面这个2^9你没问题吧?
那么后面为什么2^9(-1+2-3+4+……-9+10)=5*2^9。因为正如答案里说的“含有元素2、3、…、10的都分别有512个”所以每一项都要加512次。懂了么?

追问

含有元素1的集合有2^9个，这我理解。既然大家（含有元素1、2、3…、10）都分别有512个，那它们的总和为什么要在512的基础上再乘上(-1+2-3+4+……-9+10)？
(-1+2-3+4+……-9+10)这个式子是什么意思？怎么就能确定含元素1的集合的总和为-1？

追答

(-1+2-3+4+……-9+10)这个式子里面的-1，2，-3就是你把A里的元素带进定义，通过题目里定义计算求出来的。【将A中每个元素k，都乘以(－1)k，再求和】

为什么要在512的基础上再乘上(-1+2-3+4+……-9+10)？
打个简单的比方，先不看你这道里的定义计算
就问你有个集合A=｛1,2,3.....8｝里所有非空子集元素的和
可知A中每个元素的子集都有128个
因为求和，所以就是128*(1+2+...+8)
拆开来看就是128*1+128*2+....128*8就是我上面说的，每一项都要加128次。

同理，你这个题目就是把里面所有元素之和再套了个定义计算的外套，做法是一样的。

追问

谢谢，我想通了，主要就是不理解上面那个式子。因为含每个元素的非空子集各有2^10-1-（2^9-1）=2^9个，其非空子集的总和就是2^9乘以（-1、2、-3…10）个，其实就是把它们每个元素按照题目要求算出来（偶数为本身，奇数为其相反数）乘以所含它们的子集的个数。