Question

高中函数

设奇函数F(x))=(ax^2+1)/(bx+c) (a,b,c∈Z)满足f(1)=2,f(2)<3,探究函数f(x)的性质

Answer 1

由奇函数定义F(-x)= -F(x)，得c=0,所以F(x))=(ax^2+1)/bx
再由 f(1)=2,f(2)<3,解得a=1,b=1,c=0
所以F(x)=(x^2+1)/x 这就是俗称的NIKE函数
性质：定义域｛x|x<>0},值域（-∞，-2］∪[2,+∞）
在（-∞，-1］，[1,+∞）上是增函数
在（0，1），（-1,0）上是减函数

Answer 2

f(x)=(ax^2+1)/(bx+c)
因为f(x)为奇函数
∴f(-x)=-f(x)
f(-x)=(ax^2+1)/(-bx+c)
-f(x)=-(ax^2+1)/(bx+c)
∵分子上ax^2+1=ax^2+1
所以bx+c=bx-c
c=0

f(1)=2
所以a+1=2b
a=2b-1

f(2)<3
(4a+1)/2b<3

若b>0
4a+1<6b 将a=2b-1代入
2b<3
b<3/2

b=1

a=1

若b<0
b>3/2
不成立

所以a=1
b=1
c=0