Question

已知a是实数,函数f(x)=2ax^2+2x-3-a,如果函数y=f(x)在区间[-1,1]上有零点,求a的取值范围

答案是：a≤-[3+√7]/2或a≥1

Answer 1

y=f（x）在区间[-1，1]上有零点转化为（2x2-1）a=3-2x在[-1，1]上有解，把a用x表示出来，转化为求函数 y=2x2-13-2x在[-1，1]上的值域，再用分离常数法求函数 y=2x2-13-2x在[-1，1]的值域即可．
解：a=0时，不符合题意，所以a≠0，
又∴f（x）=2ax2+2x-3-a=0在[-1，1]上有解，⇔（2x2-1）a=3-2x在[-1，1]上有解 ⇔1a=2x2-13-2x
在[-1，1]上有解，问题转化为求函数 y=2x2-13-2x[-1，1]上的值域；
设t=3-2x，x∈[-1，1]，则2x=3-t，t∈[1，5]， y=12•(t-3)2-2t=12(t+7t-6)，
设 g(t)=t+7t．g′(t)=t2-7t2， t∈[1，7)时，g'（t）＜0，此函数g（t）单调递减，
t∈(7，5]时，g'（t）＞0，此函数g（t）单调递增，
∴y的取值范围是 [7-3，1]，
∴f（x）=2ax2+2x-3-a=0在[-1，1]上有解ó 1a∈ [7-3，1]⇔a≥1或 a≤-3+72．
故a≥1或a≤- 3+72．

Answer 2

2ax²+2x-3-a=0
a(2x²-1)=3-2x
a=(3-2x)/(2x²-1)
此解析式需要考虑分母不为0的情形
考虑g(x)=(2x²-1)/(3-2x)的值域
g'(x)=[4x(3-2x)+2(2x²-1)]/(2x²-1)²=0
12x-8x²+4x²-2=0
2x²-6x+1=0
x=(6±2√7)/4
=(3±√7)/2 舍正
极值点 x0=(3-√7)/2
g(x) 在【-1，x0]上递减，在【x0,1]上递增
g(-1)=1/5
g(x0)=(2x0²-1)/(3-2x0)=√7-3
g(1)=1
所以 √7-3≤1/a≤1
（√7-3<0）
所以 a≤-（√7+3)/2或a≥1 （抄的资料）

Answer 3

f(x)=0，即2ax²+2x-3-a=0
参变分离，过程如下：
a(2x²-1)=3-2x
当2x²-1=0，即x=±√2/2时，等式恒不成立，舍去；
当x≠±√2/2时，a=(3-2x)/(2x²-1)，
求a的范围，就是求y=(3-2x)/(2x²-1)，x属于【-1,1】且x≠±√2/2的值域；
换元法：令3-2x=t，则t属于【1,5】且x=(3-t)/2；则y=t/[(3-t)²/2-1]
整理：y=2t/(t²-6t+7)
上下同除t，得：y=2/(t+7/t-6)
g(t)=t+7/t是对勾函数，勾底是t=√7在区间【1,5】内，
g(√7)=2√7；g(1)=8；g(5)=6.4；
所以：2√7≦t+7/t≦8
则2√7-6≦t+7/t-6≦2；
则：1/(t+7/t-6)≦-(3+√7)/4或1/(t+7/t-6)≧1/2
所以y=2t/(t²-6t+7)的值域是(-∞,-(3+√7)/2]U[1,+∞)
即a的取值范围是(-∞,-(3+√7)/2]U[1,+∞)

希望能帮到你

Answer 4

(1)令△=4+8a(3+a)=8a2+24a+4=0
，
得
a
=(-3±√7)/2
①当a=(-3-√7)/2
时，y=f(x)恰有一个零点在
〔-1，1〕上.
②当a=0
时，f(x)=2x-3
没有零点.
(2)当△≠0
时，以零点进行分类:
①
当有一个零点时，有f(-1)*f(1)＜0,
即1＜a＜5.
②
当有两个零点时,
则f(-1)*f(1)≥0,分类如下:
(i)a＞0，△=8a2+24a+4＞0，-1＜-1/(2a)
＜1，
f(1)≥0.
f(-1)≥0.
(ii)a＜0，△=8a2+24a+4＞0，-1＜-1/(2a)
＜1，
f(1)≤0.
f(-1)≤0.
解得a≥5或a<(-3-√7)/2
.
综合以上几点可知，a的取值范围是a＞1或a≤(-3-√7)/2