Question

二次函数y=f(x)=ax^2+2ax+1在区间【-3,2】上的最大值是4，求a的值

Answer 1

我总算看到一个还有点层次的同学。孩子，这种题，如果不会做，跑来问还情有可原。你比那些数列基本知识都不会，跑来问百度的人强多了。

本题考查二次函数在闭区间上的最值问题，需要“数形结合”以及“分类讨论”。
解： 由于已知是二次函数，所以一定有a≠0。 对称轴为 x＝－1
(下面要开始分类讨论，这上面不好画图，你得看着我的过程自己在纸上比划)
对称轴在 [-3,2] 内部，区间中点是－0.5， 所以对称轴靠近左端点 －3 。
① 当a＞0时，开口向上，最大值在端点取得，
由于对称轴靠近左端点，所以最大值是 f(2) ＝8a＋1
令 8a＋1 ＝4，得a＝3/8 符合题意
② 当a＜0时，开口向下，最大值在对称轴处取得，所以最大值是 f(－1) ＝1－a
令 1－a ＝4，得a＝－3 符合题意
综上所述，a＝3/8 或－3

评注：二次函数在闭区间上的值域问题，归根结底是要讨论“对称轴和区间的位置关系”，当然还要结合开口。

追问

在第一种情况下，X取-3时，算出a为1啊，不是比八分之三要大嘛？

追答

同学，你要善于画图，数形结合。你现在看着我的叙述，你在纸上画图：
在数轴上随便标两点代表 -3 和2 ，表示出区间 [-3,2] ，然后把这个区间的中点 -0.5标出。由于对称轴为 x＝－1 ，你说它是不是在区间内部，而且在 -0.5左边 ？
第一种情况下，a＞0，开口向上。
你现在先在数轴上把对称轴画出来，只要在-3和-0.5之间就可以了。
然后你画一个朝上的抛物线，当然，要关于 x＝－1 对称。至于开口，窄一点宽一点都无所谓。
现在，题目要找的是它在 [-3，2] 上得最大值，你现在只需要看你画的抛物线在 [-3，2] 上的部分，其它部分都不管，由于对称轴靠近左端点，开口又朝上，你看最大值是不是在右端点？你怎么能用左端点代入求最大值呢？你说的X=-3代进去，这怎么可以？它根本不是最大值。要是还不理解，就在刚才的图上，在X=-3和X=2处分别做竖线和抛物线相交，肯定是右边得到的交点位置高些。另外，请你看清楚，第一种情况下的最大值是 8a+1=4，通过它求出a=3/8的，3/8并不是最大值，8a+1才是最大值

Answer 2

对称轴：x=-1
故
当若a<0，开口向下，则有
f(x)有最大值f(-1)=4 解得a=-3
②若a>0 ，又知-3距离-1近，2距离-1相对较远
所以f(x)有最大值f(2)=4 解得a=3/8
综上，a=-3或a=3/8
证毕

Answer 3

对称轴：x=-1
①若a<0
f(x)有最大值f(-1)=4 解得a=-3
②若a>0
f(x)有最大值f(2)=4 解得a=3/8
综上，a=-3或a=3/8