Question

是否存在直线L交椭圆y²/9 +x²=1不同两点M、N且MN被直线x=1/2平分，求直线L斜率的范围，若不存在

求过程

Answer 1

是否存在直线L交椭圆y²/9 +x²=1不同两点M、N且MN被直线x=1/2平分，求直线L斜率的范围，若不存在，请说明理由。
解：设L的方程为y=kx+b，L与椭圆的两个交点为M(x₁，y₁)；N(x₂，y₂).
将椭圆方程改写为y²+9x²-9=0，并将L的方程代入得：
(kx+b)²+9x²-9=(k²+9)x²+2bkx+b²-9=0
因为线段MN被直线x=1/2平分，故(x₁+x₂)/2=1/2，即有x₁+x₂=1；由韦达定理可知：
x₁+x₂=-2bk/(k²+9)=1
于是得二次方程 k²+2bk+9=0，故得k=[-2b±√(4b²-36)]/2
由于k∈R,故其判别式Δ=4b²-36=4(b²-9)≧0，b²≧9，∴b≧3或b≦-3.
当b=3时k=-6/2=-3；当b>3时k<-3；故得k≦-3；
(注：当b=3时直线L过椭圆的上顶点(0，3)，此时k=-3，L的倾角α>90°；当b>3时，L越陡，即倾
角从大于90°的方向越靠近90°，此时k=tanα<-3).
当b=-3时k=6/2=3；当b<-3时k>3；故得k≧3；
(注：当b=-3时直线L过椭圆的下顶点(0，-3)，此时k=3，L的倾角α<90°；当b<-3时，L越陡，即倾角α从小于90°的方向越靠近90°，此时k=tanα>3.)
即直线L的斜率k的范围为（-∞，-3]∪[3，+∞）。

Answer 2

MN的中点为（1/2, t)
则 (-3√3/2, 3√3/2)
椭圆方程
9x²+y²=9
设M(x1,y1)
N(x2,y2)
9x1²+y1²=9
9x1²+y1²=9
9(x1-x2)²+(y1-y2)²=0
k=(y1-y2)/(x1-x2)=-9(x1+x2)/(y1+y2)
k=-9/(2t)
2t∈(-3√3, 3√3)
所以 k∈（-∞，√3)U(√3,+∞)

Answer 3

解：
直线l不与坐标轴平行,设为y=kx+b（k≠0），M(x1,y1),N(x2,y2)
联立方程：y=kx+b，x^2 +y^2 /9=1
则(9+k^2)x^2+2kbx+b^2-9=0
△=(2kb)^2-4(9+k^2)(b^2-9)>0，k^2-b^2+9>0
x1+x2=-2kb/(9+k^2), x1x2=(b^2-9)/(9+k^2)
MN的中点的横坐标=(x1+x2)/2=-1/2
所以x1+x2=-1
所以9+k^2=2kb>b^2
(k-b)^2=b^2-9≥0,b^2≥9
b≥3或b≤-3
b(b-2k)<0
所以b≥3>0时，b-2k<0,k>b/2≥3/2
b≤-3<0时，b-2k>0,k<b/2≤-3/2
所以k的取值范围为(-∞,-3/2)∪(3/2,+∞)