Question

已知函数f(X)=x+a^2/x,g(x)=x+lnx,其中a>0

若对任意的x1，x2∈[1，e]（e自然对数的底数）都有f（x1）>=g（x2）成立，求实数a的取值范围(求f(x)的最小值时怎样对a进行分类讨论呢，思路？）

Answer 1

若对任意的x1，x2∈[1，e]都有f（x1）≥g（x2）成立,f（x1）min≥g（x2）max，从而转化为分别求函数f（x），g（x）在[1，e]的最小值、最大值
对任意的x1，x2∈[1，e]都有f（x1）≥g（x2）成立，等价于对任意的x1，x2∈[1，e]都有[f（x）]min≥[g（x）]max．
当x∈[1，e]时， g′(x)=1+1x＞0．
∴函数g（x）=x+lnx在[1，e]上是增函数．
∴[g（x）]max=g（e）=e+1
∵ f′(x)=1-a2x2=(x+a)(x-a)x2，且x∈[1，e]，a＞0．
①当0＜a＜1且x∈[1，e]时， f′(x)=(x+a)(x-a)x2＞0，
∴函数 f(x)=x+a2x在[1，e]上是增函数，
∴[f（x）]min=f（1）=1+a2．
由1+a2≥e+1，得a≥ e，
又0＜a＜1，∴a不合题意．
②当1≤a≤e时，
若1≤x＜a，则 f′(x)=(x+a)(x-a)x2＜0，
若a＜x≤e，则 f′(x)=(x+a)(x-a)x2＞0．
∴函数 f(x)=x+a2x在[1，a）上是减函数，在（a，e]上是增函数．
∴[f（x）]min=f（a）=2a．
由2a≥e+1，得a≥ e+12，
又1≤a≤e，∴ e+12≤a≤e．
③当a＞e且x∈[1，e]时， f′(x)=(x+a)(x-a)x2＜0，
∴函数 f(x)=x+a2x在[1，e]上是减函数．
∴ [f(x)]min=f(e)=e+a2e．
由 e+a2e≥e+1，得a≥ e，
又a＞e，∴a＞e．
综上所述，a的取值范围为 [(e+1)/2，+∞)．