Question

已知f(x)是定义在R上的增函数,对x属于R有f(x)>0,切f(5)=1,F(x)=f(x)+1/f(x),讨论F(x)的单调性,并证明

重要的是证明

Answer 1

设x′＜x″,我们可以作差：F﹙X″﹚－F﹙X′﹚用定义法来判断。
x″>x′
F﹙x″﹚－F﹙x′﹚＝f﹙x″﹚－f﹙x′﹚＋1／f﹙x″﹚－1／f﹙x′﹚
＝﹛f﹙x″﹚－f﹙x′﹚﹜·﹛1－[1／f﹙x′﹚f﹙x″﹚]﹜
由于f(x)是增函数，所以第一个因式为正数；故只要第二个因式的除数比1大或比1小，就可以了。
由题设，f(5)=1,故x′＞5时，第二因式为正值；当x″＜5时，第二因式为负值。
答：F（x)有两个单调区间。﹙－∞，5﹚与﹙5，＋∞﹚。在第一个区间，F(x)是减函数；在第二个区间F(x)为增函数。（注：5可以放在任何一个区间，形成“半开半闭”区间。）
另法，由于函数值恒正，可以利用不等式“a＋b≥2√ab”当且只当a=b时等号成立。可见F(x)当x=5时有最小值为2，所以x>5时，函数递增；x<5时，函数递减。