Question

如图(1)所示,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AE是过A的一条直线，且B、C在AE的异侧，BD⊥AE于D,CE⊥AE于E。求

（1） BD=DE+CE。
（2） 若直线AE绕A点旋转到图（2）位置时（BD＜CE）,其他条件不变，判断BD与DE,CE的关系，并说明理由。
（3） 若直线AE绕A点旋转到图（3）位置时（BD＞CE），其他条件不变，则BD与DE,CE的关系又怎样？请写出结果，不必证明。

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Answer 1

（1）证明：
∵∠BAD+∠DAC=90º
∠ECA+∠CAD=90º
∴∠BAD=∠ACE
又∵∠ADB=∠AEC=90º，AB=AC
∴⊿BAD≌⊿ACE
∴BD=AE，AD=CE
∴BD=AD+DE=CE+DE
（2）
∵∠DAB+∠EAC=90º
∠DBA+∠DAB=90º
∴∠DBA=∠AEC
又∵AB=AC，∠BDA=∠AEC=90º
∴⊿BDA≌⊿AEC
∴DB=AE，DA=EC
∴BD=DE-EC
（3）
BD=DE-EC

Answer 2

(1)证明:∠BAD=∠ACE(均与角CAE互余);∠BDA=∠AEC=90度;AB=AC.
则:⊿BDA≌⊿AEC(AAS),得BD=AE,AD=CE.
故:BD=AE=DE+AD=DE+CE.
(2)BD+CE=DE.
证明:∠BAD=∠ACE(均与角CAE互余);∠BDA=∠AEC=90度;AB=AC.
则:⊿BDA≌⊿AEC(AAS),得BD=AE,AD=CE.
故:BD+CE=AE+AD=DE.
(3)BD+CE=DE.

Answer 3

解：证明如下：
（1）∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵CE⊥AE，∴∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠ACE=∠BAD；
又∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠ADB=∠CEA=90°，
在△ABD和△CAE中，
∠ACE=∠BAD∠ADB=∠CEAAB=AC​，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE，AD=CE；
∵AE=DE+AD，
∴BD=DE+CE；

（2）DE=BD+CE．
∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵CE⊥AE，∴∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠ACE=∠BAD；
又∵BD⊥AE，CE⊥AE
∴∠ADB=∠CEA=90°，
在△ABD和△CAE中，
∠ACE=∠BAD∠ADB=∠CEAAB=AC​，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE，AD=CE；
∵DE=AE+AD，
∴DE=BD+CE；

（3）结论是：当B、C在AE两侧时，BD=DE+CE；当B、C在AE同侧时，BD=DE-CEDE=BD+CE．

Answer 4

1.∵∠CAE=90°-∠BAD=∠ABD
AC=BA
∴△CAE≌△ABD
∴BD=AE=AD+DE=CE+DE
2.方法同1.可证△CAE≌△ABD
∴BD=DE-CE
3.结论和过程同2.

Answer 5

据三角形内角和为180度的定理知 角DBE=角ECB 设为Y度 据已知条件角ABC=角ACB=45度 则：角ABD=45度-Y度 角BAD=90-角ABD=90-（45度-Y度）=45度+Y度
因角ACE=45度+Y度 所以角BAD=角ACE 又AB=AC 故，三角形ABD与三角形ACE全等 可得：BD=AE=AD+DE AD=CE 所以BD=DE+CE （1）证毕。
（2）显然三者关系是：DE=BD+CE 理由是三角形ABD与三角形CAE全等，与上同理可得此关系
（3）显然三者关系是：DE=BD+CE