Question

问一道高一数学题····

1.已知f(根号X +1)=X+2倍的根号X 则f(x)= （根号X +1是分开的
2.证明函数f(x)=根号（x的平方+1）的单调性

Answer 1

1、设t=根号X +1，则根号X =t-1和X=(t-1)^2
将上式带入f(根号X +1)=X+2倍的根号X，得f(t)==(t-1)^2+2*(t-1)=t^2-1
2、设X1>X2>0
f(x1)-f(x2)=根号（x1^2+1） - 根号（x2^2+1）
=（x1^2-x2^2）/(根号（x1^2+1） +根号（x2^2+1）)
因为x1^2-x2^2>0，根号（x1^2+1） +根号（x2^2+1）>0
所以 f(x1)-f(x2)>0，f(x)在X>0时单调递增
同理设X1<X2<0,得f(x)在X<0时单调递减
注：若学过导数可能会简单一点

Answer 2

①设根号X +1=t（t≥1）
x=(t-1)²
f(t)=（t-1)²+2(t-1)
f(t)=t²-1

②x²+1=t
f(x)=根号t为增函数
t=x²+1在（﹣无穷，0）为减函数
在（0，﹢无穷）为增函数
因为f(x)=根号t为增函数
同增异减
所以x在
在（﹣无穷，0）为减函数
在（0，﹢无穷）为增函数

追问

不 第一题根号X 和一是分开的

追答

恩，是分开的呀是（根号x)+1=t
所以x才等于(t-1)²
如果不分开是根号(x+1)=t
x就是t²-1了我没搞错O(∩_∩)O哈！

追问

第二题和老师讲的不一样 老师是设X1 X2 你能做成那的吗 要化成乘积的形式··

追答

昨天没仔细看，二楼搞错了……
应该设X1>X2>0
f(x1)-f(x2)=(根号x1^2)+1 - (根号x2^2)-1
=（根号x1^2)-(根号x2^2)
=x1-x2
因为X1>X2>0
所以x1-x2>0
所以 f(x1)-f(x2)>0
X1>X2>0
f(x1)-f(x2)>0
所以x在(0，﹢无穷）是增函数
同理设0>X1>X2
f(x1)-f(x2)
=（根号x1^2)-(根号x2^2)
=-x1+x2
=x2-x1X1>X2
f(x1)-f(x2)<0
所以x在（﹣无穷，0）为减函数
昨天看错了，不好意思哈

Answer 3

1.可以写成f(根号X +1)=(根号X +1）^2-1
所以f（x）=x^2-1
2.额，请问是分开讨论单调性吗？