Question

已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1

（1）求f(x)
(2) 求在区间[-1，1]上，函数f(x)的图像恒在直线y=2x+m的上方，求实数m的取值范围。
谢谢各位了~~

Answer 1

(1)由f(0)=1有f(1)-f(0)=0==>f(1)=f(0)=1
设f(x)=ax^2+bx+c
由f(0)=1有c=1
由f(1)=1有a+b+1=1==>a+b=0
f(x)=ax^2-ax+1
f(x+1)=a(x+1)^2-a(x+1)+1
f(x+1)-f(x)=a(2x+1)-a=2x==>a=1
则f(x)=x^2-x+1
(2)要使得直线在f(x)下方，则对于-1≤x≤1满足x^2-x+1>2x+m
m<x^2-3x+1=(x-3/2)^2+1-9/4=(x-3/2)^2-5/4
当-1≤x≤1时y=(x-3/2)^2-5/4递减
x=1时最小值为1/4-5/4=-1
则m<-1

Answer 2

设f(x)=ax²+bx+c
f(0)=1得c=1
f(x+1)-f(x)=2x
即a[(x+1)²-x²]+b[(x+1)-x]=2x
2ax+a+b=2x
所以a=1
b=-1
所以f(x)=x²-x+1
（2）
考虑到函数图像开口向上
联立y=x²-x+1
y=2x+m
得x²-3x+1=m,x∈[-1，1]，即-1≤m≤5时两函数有交点
所以m<-1或m>5

Answer 3

解：
（1）令f(x)=ax²+bx+c
f(x+1)-f(x)
=a(x+1)²+b(x+1)+c-ax²-bx-c
=2ax+a+b
即2ax+a+b=2x
所以2a=2 ,b+a=0即a=1,b=-1
f(0)=c=1
所以f(x)=x²-x+1=(x-1/2)²+3/4
（2）在区间【-1，1】上值域[3/4,3]
y=f(x)的图像恒在y=2x+m上方
则x²-x+1>2x+m即x²-3x+1-m>0恒成立
△=9-4(1-m)<0
解得m<-5/4（2）

Answer 4

（1）令f（x）=ax2+bx+c（a≠0）代入f（x+1）-f（x）=2x，
得：a（x+1）2+b（x+1）+c-（ax2+bx+c）=2x，2ax+a+b=2x，

∴f（x）=x2-x+1；
（2）当x∈[-1，1]时，f（x）＞2x+m恒成立即：x2-3x+1＞m恒成立；
令 ，
x∈[-1，1]则对称轴： ，
则g（x）min=g（1）=-1
∴m≤-1；

Answer 5

（1）设f(x)=ax^2+bx+c,则f(x+1)-f(x)=2ax+a+b=2x
=> a=1;b=-1
又 f(0)=c=1 =>c=1
=> f(x)=x^2-x+1
(2)由于f(x)图像恒在直线y=2x+m的上方,则
f(x)=y=2x+m => x^2-3x+(1-m)=0
根判别式 Δ<0 => m<-5/4