Question

设正项级数∑an收敛,bn=（-1）^n ln(1+a2n),则∑bn的收敛性是绝对收敛还是条件？

设正项级数∑an收敛,bn=（-1）^n ln(1+a2n),则∑bn的收敛性是绝对还是条件？(题目中的n 2n 均为下标)
希望有分析过程。！ 如果用比较判别法 limn→+∞ （an）/(n ln(1+a2n)) 该如何判断？

Answer 1

首先1+x<e^x(x>0)，所以ln（1+x)<x，由正项级数∑an收敛和收敛级数的性质知∑a2n，因此∑bn的收敛性是绝对收敛，自己体会。这题很简单

追问

1+x0)这个是如何知道的？我确实不懂an收敛 a2n的敛散性是？？
能否讲的详细点？？

追答

可把e^x用泰勒公式展开，这个应该是很显然了，当然你也可以制造函数f(x)=e^x-1-x只要证明x>0时f(x)>0即可，方法还有的，多动动脑。
第二个因为0<∑a2n<(a1+a2+a3……+a2n)由于后者收敛（且各项为正），故<∑a2n收敛