Question

高一数学问题，要详细解释

设A=﹛x|x²+4x=0﹜，B=﹛x|x²+2（a+1）x+a²﹣1=0﹜，若A∏B=B，求a范围

Answer 1

A={x|x^2+4x=0} -> A={0,-4}
B={x|x^2+2(a+1)x+a^2-1=0}
A∩B=B -> B含于A -> 则B=空集或{0,-4}或{0}或{-4}
(1)当B=空集时
△<0 -> 4(a+1)^2-4(a^2-1)<0 -> a<-1
(2)当B={0,-4}时
根据韦达定理
0+(-4)=-2(a+1) -> a=1
0*(-4)=a^2-1 -> a=1或-1
a=1
(3)当B只有一解时
△=0 -> 4(a+1)^2-4(a^2-1)=0 -> a=-1
当B={0}时
根据韦达定理得
0+0=-2(a+1) -> a=-1
0*0=a^2-1 -> a=1或-1
则a=-1
当B={-4}时
根据韦达定理得
(-4)+(-4)=-2(a+1) -> a=3
(-4)*(-4)=a^2-1 -> a=√17或-√17
无解

综上,a<=-1或a=1

Answer 2

A=﹛x|x²+4x=0﹜={0, -4}
B=﹛x|x²+2（a+1）x+a²﹣1=0﹜
A∏B=B
则B=空集,4(a+1)²-4(a²-1)<0,8a+8<0,a<-1
或B={0},4(a+1)²-4(a²-1)=0,8a+8=0,a=-1
或B={-4},不存在这样的a
或B={0, -4},a=1
综上所述，a的范围为: a=1或a<=-1

Answer 3

把集合A解出来得到A={0，-4}，说明集合B的情况如下，B=Φ，B={0}，B={-4}，B={0，-4}
1、当B=Φ是由[2(a+1)]²-4(a²-1)<0 得到a<-1
2、B={0}或B={-4}是把X=0或者X=-4带入B中方程得到a的解为a=1或a=-1或a=7.
3、B={0，-4}是由根与系数的关系得到a=1或a=-1且a=1得到此时满足条件的a=1
综合1、2、3得到a的范围为{a|a<=-1或a=1或a=7}

Answer 4

解出A得x=0，x=-4
∵A∩B=B A=｛0,4｝
∴（B的范围比A小，所以B在A内）B=0或4
将X=0，X=4分别代入x²+2（a+1）x+a²﹣1=0
解得a=±1或（剩下那个自己接吧，见谅）
即可求得A