Question

求教一道不难的高数题。。

求 lim(x→0) [(x+1)^(1/n)-1]/x 其中n为正整数，烦指教！

Answer 1

此题用等价无穷小替换最简单
当x→0时，(x+1)^(1/n)-1~x/n (书上有的）
∴原式=lim(x→0) 【(x/n)/x】=1/n

Answer 2

该极限形式属于0/0型的。
洛比达法则条件
)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零； (2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；
　　(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么
　　x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
因此这道题目可以使用洛比达法则来做
lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)=lim(1/n)(x+1)(1/n-1)/1=1/n.(n为正整数)