Question

已知函数y=f(x)是奇函数，它在（0，+∞)是增函数

且f(x)＜0,试判断F(x)=1/f(x)在(-∞,0)上的单调性,并加以证明

Answer 1

F(x)=1/f(x)在(-∞,0)上是减函数。
证明∵f（x）是奇函数∴
f(-x)=-f(x)，f(x)在（0，+∞)是增函数，且f(x)<0， ∴f(-x)在（-∞，0)也是增函数，且f(-x)>0，说明f(x)随x增大而增大，又因为F(x)=1/f(x)，x增大，f(x)增大，1/f(x)减少，说明F(x)是减函数，F(-x)=1/f(-x)=-1/f(x)=-F(x)，说明F(x)也是奇函数，因此F(x)=1/f(x)在(-∞,0)上是减函数。

Answer 2

F(x)=1/f(x)在(-∞,0)上是减函数。
证明：根据已知条件f(-x)=-f(x)，f(x)在（0，+∞)是增函数，且f(x)<0，说明图象在第四象限为增函数，而奇函数是关于圆点对称，所以f(-x)在（-∞，0)也是增函数，且f(-x)>0，说明f(x)随x增大而增大，又因为F(x)=1/f(x)，x增大，f(x)增大，1/f(x)减少，说明F(x)是减函数，F(-x)=1/f(-x)=-1/f(x)=-F(x)，说明F(x)也是奇函数，因此F(x)=1/f(x)在(-∞,0)上是减函数。