Question

一个巧妙的数学问题。

已知设抛物线y=x²-2x+m与x轴交与点A（x1，0）、B（x2，0）（x1＞x2）
设抛物线y=x²-2x+m的顶点为M，若三角形ABM是直角三角形，求m的值？
要过程啦，，谢谢

Answer 1

答案：m=0
由方程得，对称轴为直线x=1，代入方程得：m（1，m-1）
过点M做线段三角形ABM的高，垂足坐标为（1,0）垂足分线段AB的长分别为（x1-1），（1-x2）
在直角三角形ABM中，由射影定理得，（m-1）²=（x1-1）×（1-x2）
令x²-2x+m=0得x1+x2=2,x1×x2=m
所以，m²-m=0因为m-1不等于0所以m=0

追问

不好意思还有没有别的做法，我没学过射影定理。

追答

那就证明直角三角形由斜边上的高分得的两个三角形相似，两个直角边之比相等也可得
（m-1）²=（x1-1）×（1-x2）

Answer 2

设对称轴与x轴交于点D，
由于A，B两点是抛物线与X轴的交点，M点是抛物线的顶点，有抛物线的对称性知：
三角形AMB为等腰直角三角形,AD=BD=MD，
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4*x1*x2=4-4m，即AB=|x1-x2|=2*根号（1-m)
所以MD=AD=AB/2=根号（1-m)，又由顶点坐标公式M点纵坐标y(m)=m-1，MD=|m-1|
所以 根号（1-m)=|m-1|，两边平方求解得x=0或x=1（舍去）