Question

关于"对某式两边取积分"

比如电容的电流--电压关系的方程
i=Cdv/dt
"对上式两边取积分"得:
v=(1/C)*∫<-oo,t>idt ------------------------------ (1)
(<-oo,t> "< >"号里的东西表示积分限a到b)
即: v=[(1/C)*∫<t0,t>idt] + v(t0) --------------- (2)
v(t0)表示t0时刻的电容两端电压

我不明白的是 为什么(1)式的下限要取负无穷
(2)式真的是用数学的方法得到的吗? 看不出v(t0)是怎么来的..

Answer 1

下限取多少是根据实际问题来的，认为负无穷时刻电容上电压为0的话，下限就是负无穷；如果认为是从零状态起始，即0时刻电容上电压为0，那就取下限为0就行。这个式子的来源是牛顿-莱布尼兹公式。
第二问那个写法就是我刚才说的原因。也可以理解为
(1/C)*∫<-∞,t>idt = (1/C)*∫<-∞,t0>idt + (1/C)*∫<t0,t>idt
然后根据(1)式，(1/C)*∫<-∞,t0>idt = v(t0)

追问

明白了明白了
因为电容是储能元件 习惯上把(-oo,0)时间段认为是电容的零态 而积分限为(-oo,t)的时候体现不出电容的零态电压
所以把积分限(-oo,t) 分成(-oo,t0) 和 (t0,t) , t0都取0 这样零态就体现出来了

然后 还个事想确认一下
"对某式两边取积分" 其实是对某式两边取定积分, 积分限可以依实际情况任意定 , 是不是呢?

追答

定积分和不定积分都可以。不定积分的话，得到的两边可以相差一个常数；定积分的话，上下限可以随意定。实际上更常见的是使用一个变上限的积分，即下限是相同的常数，上限是相同的变量，这个变量取任何值等号两边都相等，就像提问中那样（使用变量t来做上限）

Answer 2

(1)式的下限要取负无穷是由于积分上限函数，这是从纯粹数学表达式的方面来说的。从物理意义，下限是显然是不能取负无穷的。二式的确是用数学方式得到的，利用v(t)-v(t0) =[(1/C)*∫<t0,t>idt]（牛顿－莱布尼茨公式）可以得到。 关于牛顿－莱布尼茨公式的证明要用到积分上限函数的求导性质来证明，积分上限函数的求导性质要用到微积分中值定理证明，微积分中值定理的证明要用到介值定理，介值定量的证明要用到零点定理。你按上述过程一步一步的证明即可。其次建议你自学解微分方程、高斯定理与斯托克斯公式，这有利于你理解磁场中的高斯定理与安培环路定理。