Question

在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F

求证：BM=MN=NC

Answer 1

连接AM，AN。
因为AB=AC，∠A=120°，所以，∠B=∠C=30°。
因为EM，FN分别是AB，AC的垂直平分线，所以，AM=BM，AN=BN，
所以，∠BAM=∠B=30°，∠CAN=∠C=30°，
所以，∠MAN=120°-30°-30°=60°。
而∠AMN=∠B+∠BAM=30°+30°=60°，所以，△AMN是等边三角形，
所以，AM=AN=MN，所以，BM=MN=CN。

Answer 2

由条件得∠B=∠C=∠BAM=∠CAN=30，则∠AMN=∠B+∠BAM=60，∠ANM=∠C+∠CAN=60
知AMN为正三角形，则BM=AM=MN=AN=CN