Question

已知:在梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠DCE，AB⊥AC，E为BC的中点。求证:DE和AC互相垂直平分。

Answer 1

连接AE，直角三角形ABC，AE是斜边BC的中线，
所以 BE=CE=AE，（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
所以∠ECA=∠EAC，
又AC是∠BCD的角平分线，
∠DCA=∠ECA，
即∠EAC=∠DCA
所以AE//CD，
四边形ABCD是梯形，
AD//CE。
故 四边形AECD是平行四边形，
又CE=AE=DC=AD
故 四边形AECD是菱形
所以 DE和AC互相垂直平分。

Answer 2

解：
∵在Rt△ABC中，E是BC的中点，
∴AE是Rt△ABC的中线，
∴AE=CE
∴∠EAC=∠ACE．------------1）
∵CA平分∠DCE
∴∠ACE=∠ACD---------------2）
比较1）2）
∴∠EAC=∠ACD
∴AE∥CD
∴四边形AECD是平行四边形．
又AE=CE
所以平行四边形AECD是菱形，
所以DE、AC互相垂直平分（菱形的两对角线互相垂直平分）．
我不知道上面有那么多人做了。放弃！ 能取消我的答题吗？取消

Answer 3

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠DCE，AB⊥AC，E为BC的中点

三角形BAC为直角三角形，E为中点

所以EA=EC

所以∠EAC=∠ECA（等腰三角形）

又因为CA平分∠DCE

所以∠EAC=∠DCA

所以AE//CD

又因为AD//CE

所以四边形ADCE为菱形，

所以DE和AC互相垂直平分

谢谢采纳

Answer 4

证明:AB垂直AC,点E为BC中点,则AE=AB/2=CE.
故∠EAC=∠ECA;
又∠DCA=∠ECA.则∠EAC=∠DCA,得AE平行CD;
又AD平行EC,则四边形ADCE为平行四边形;
又AE=EC,故四边形ADCE为菱形,得DE与AC互相垂直平分.

Answer 5

连接AE，在Rt△ABC中，E为BC中点，则AE=BE=EC
在△AEC中，AE=EC，则∠EAC=∠ECA
又∵∠ECA=∠ACD
∴∠EAC=∠ACD
∴AE∥CD
又∵AD∥EC
∴四边形ADCE为平行四边形，
∴DC=AE
∵AE=EC
∴DC=EC
连DE和AC，并交于M.
在等边△DCE中，∠DCM=∠ECM
∴CM⊥DE且平分DE
在等边△AEC中，EM⊥AC
∴AM=MC
所以：DE和AC互相垂直平分

Answer 6

证明：连接AE.
∵AB⊥AC，
∴BAC=90°，
∵E为BC的中点，
∴BE=CE=AE=（1/2）BC，
∴∠ECA=∠EAC，
∵CA平分∠DCE，
∴∠DCA=∠ECA，
∴∠EAC=∠DCA，
∴AE‖CD，
又∵AD‖CE，AE=CE，
∴四边形AECD是菱形，
∴DE与AC互相垂直平分.