Question

定义在R上的偶函数f(x)在(负无穷大,0)上单调递减,若f(a+1)<f(-2a+1)，则a的取值范围如何？

Answer 1

讨论：
1、a+1＜0，a＜-1；-2a+1＜0，a＞1/2；没有实数满足条件
2、a+1＜0，a＜-1；-2a+1＞0，a＜1/2；a∈(-∞，-1)
原函数是偶函数，所以，f(-2a+1)=f(2a-1)，只要f(a+1)<f(2a-1)即可。又函数为（-∞，0）上
的减函数，所以，a+1＞2a-1，解得：a＜2,
两个条件要同时成立，a∈(-∞，-1)
3、a+1＞0，a＞-1；-2a+1＜0，a＞1/2；a∈（1/2，+∞）
原函数是偶函数，所以，f(a+1)=f(-a-1)，f(-a-1))<f(-2a+1)，-a-1＞-2a+1，a＞2
所以a∈（2，+∞）
4、a+1＞0，a＞-1；-2a+1＞0，a＜1/2；所以，a∈（-1,1/2）
因为偶函数关于y轴对称，在y轴的左右两侧单调性相反，所以，在（0，+∞）上是单调递增
的，f(-2a+1)=f(2a-1)，f(a+1)=f(-a-1)，f(-a-1)<f(2a-1)，-a-1<2a-1，解得a＞0
所以，a∈（0，1/2）
综合以上各种情况，我们得出：a∈∈(-∞，-1)∪（0，1/2）∪（2，+∞）
理论是这样的，解的过程由于都是直接口算的，可能有错，建议按照方法自己再计算一下。

Answer 2

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