Question

若n为整数,关于x的方程(x-2011)(x-n)2011次方+1=0有整数根,则n=

Answer 1

(x-2011)(x-n)2011次方+1=0变形：(2011-x)(x-n)2011次方=1
两边同时取对数得：log(2011-x)+2011log(x-n)=0
要想使方程成立，2011-x=1，同时x-n=1
x=2010，n=2009

追问

能用高一的方法解答吗？？？，高一没有学对数函数呢

追答

有讨论的方法：
从x-n入手，由于x-n的幂是2011，只要证明x-n=1就可以了，但我不太记得高一学过什么证明方法了，就用假设来说明问题吧
1）假设x-n>1，就假设x-n=2，那么2的10次方=1024，2的2011次方是个相当大的数，设为y，那么（2011-x）y=1，x=2011-1/y一定是个小数，而不是整数
2）x-n<1，但x-n≠0（因为方程不成立），就假设x-n=-2，同上，还是说明x不会是整数
因此x-n只有等于1，1的多少次幂都是1，因此2011-x=1，解得x=2010，而n=2009

追问

高手，你QQ多少？？，有事再请教请教····

Answer 2

2009