Question

设f(x)是（-∞，+∞）上的奇函数，f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1 时，f(x)=x,则 f(7.5) 等于？

设f(x)是（-∞，+∞）上的奇函数，f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1 时，f(x)=x,则 f(7.5) 等于？

Answer 1

因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),周期为4
f(7.5)= f(4+3.5)= f(3.5)= f(4-0.5) =f(-0.5)
又因为(x)是（-∞，+∞）上的奇函数，当 0≤x≤1 时，f(x)=x
所以f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5

追问

请解释“周期为4”

追答

因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),周期为4

周期函数的定义的构造式f(x+T)=f(x),则周期为T，而我们已经构造出f(x+4)=f(x),所以周期为4

Answer 2

f(7.5) =-0.5， f(7.5) =f(5.5+2)=-f(5.5)=-f(3.5+2)=-(-f(3.5))=f(3.5)=f(1.5+2)=-f(1.5)=-f(-0.5+2)=-（-f(-0.5)）=f(-0.5)=-f(0.5)(奇函数)=-0.5

Answer 3

=-0.5