Question

怎么求f(x)=x^2/（x-2）(x∈R,且x≠2)的单调性 麻烦过程详细一点。

Answer 1

f(x)=x^2/（x-2）(x∈R,且x≠2)
f'(x) = {(x-2)*2x - x^2*1}/(x-2)^2 = x(x-4)/(x-2)^2
x∈（-∞，0）时，f'(x)＞0，f(x)单调增；
x∈（0，2）时，f'(x)＜0，f(x)单调减；
x∈（2，4）时，f'(x)＜0，f(x)单调减；
x∈（4，+∞）时，f'(x)＞0，f(x)单调增

追问

不懂...求单调性不是要做差吗。

追答

讨论单调性有多种方法，包括图像法、求导法、论证法等。
用定义证明单调性是做差。
上面使用的求导法。

追问

我才上高一没学过....能用定义法做吗.....

追答

没学过导数的话，这个题用定义发比较麻烦

追问

恩...

追答

f(x)=x^2/（x-2）
= (x^2-4+4)/(x-2)
= (x^2-4)/(x-2) +4/(x-2)
= x+2 + 4/(x-2)
= (x-2+4) + 4/(x-2)
= (x-2) + 4/(x-2) + 4

当x-2＜0时：
= -[(2-x) + 4/(2-x) ]+ 4 = -[√(2-x) - 2/√(2-x)]^2-4+4 = -[√(2-x) - 2/√(2-x)]^2
当√(2-x) = 2/√(2-x)，即x=0时，取最大值0
∴x＜0时单调增，0＜x＜2时单调减

当x-2＞0时：
= [√(x-2) - 2/√(x-2)]^2+4+4 = [√(x-2) - 2/√(x-2)]^2+8
当√(2-x) = 2/√(2-x)，即x=4时，取最小值8
∴2＜x＜4时单调减，x＞4时单调增

上面这个不用求导法，高一知识应该能看懂。

Answer 2

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Answer 3

没学过导数的话，这个题用定义发比较麻烦
利用导数求单调性
先求导 f'（x）=x*（x-4）/(x-2)^2
当x<0或x>4时，f'（x）>0，故f（x）单调递增
当0<x<4时，f'（x）<0，故f（x）单调递减