Question

设等差数列{an}满足:公差d∈N*,an∈N*,且{an}中任意两项之和也是该数列中的一项,若a1＝3^5,

则d的所有可能取值之和为

Answer 1

am + an = ax
a1 = d (x + 1 - m - n)=243
d 和 x + 1 - m - n 都为正整数
d可能取值为 243,81,27,9,3,1
d的所有可能取值之和为 364

Answer 2

设 an=3^5+(n-1)d
am=3^5+(m-1)d
at=3^5+(t-1)d
因为任意两项之和也是该数列中的一项 an+am=at
即 3^5+(n-1)d+3^5+(m-1)d=3^5+(t-1)d
得 d=3^5/(t-m-n+1)
因为公差d∈N* 所以分母只能是 3,3^2,3^3,3^4,3^5
得 d 取值为 3^4,3^3，3^2，3,1
求和 得 121