Question

已知f(x)是二次函数，f(0)=2,f(x+1)-f(x)=2x-1 求f(x)在区间【a-1,a+1】上的最小值m(a)和最大值M（a）

Answer 1

已知f(x)是二次函数

设f(x)=Ax^2+Bx+C

因为f(0)=2，代入得到C=2；即：f(x)=Ax^2+Bx+2

又因为f(x+1)-f(x)=2x-1，代入得到：

A(x+1)^2+B(x+1)+2-(Ax^2+Bx+2)=2Ax+A+B=2x-1

对应系数相等，得到：A=1，B=-2

故：f(x)=x^2-2x+2

因为f(x)=(x-1)^2+1（图像见图）

f(x)在区间【a-1,a+1】上的最小值m(a)和最大值M（a）

1、当a+1<1时，(即a<0)；其最大值为：f(a-1)=(a-2)^2+1；最小值为： f(a+1)=a^2+1

2、当a-1>1时，(即a>2)；其最大值为：f(a+1)=a^2+1；其最小值为：f(a-1)=(a-2)^2+1

3、当a+1>1，a-1<1时，即：0<a<2

   A、f(a-1)>f(a+1)时，即0<a<1时，其最大值为：f(a-1)=(a-2)^2+1，最小值为：f(1)=1

     B、f(a-1)<f(a+1)时，即1<a<2时，其最大值为： f(a+1)=a^2+1，最小值为：f(1)=1

Answer 2

f(x)=ax²+bx+c
f(0)=2
c=2
f(x)=ax²+bx+2
f(x+1)=a(x+1)²+b(x+1)+2=ax²+2ax+a+bx+b+2
f(x+1)-f(x)=2x-1
ax²+2ax+a+bx+b+2-(ax²+bx+2)=2x-1
2ax+a+b=2x-1
a=1
a+b=-1
b=-2
f(x)=x²-2x+2=(x-1)²+1
区间【a-1,a+1】
1)1≤a-1 a≥2
m(a)=f(a-1)=(a-2)²+1
M(a)=f(a+1)=a²+1
2)a-1<1<a
1<a<2
m(a)=1
M(a)=f(a+1)=a²+1
3)a<1<a+1 0<a<1
m(a)=1
M(a)=f(a-1)=(a-2)²+1
4)1≥a+1 a≤0
M(a)=f(a-1)=(a-2)²+1
m(a)=f(a+1)=a²+1