Question

设f(x)是零到正无穷上的连续函数，且f(x)=f(x^2),x属于零到正无穷，证明f(x)在零到正无穷上为常数。

复旦版高数练习册坑爹啊！
哪位大牛帮我证明一下~~~~~~

Answer 1

证明：设 x = y^2,f(y)=f(y^2), ===> f(x)= f(x^(1/2))
任给x 大于0， 不等于1, f（x) = f(x^(1/2))= f(x^(1/4))=....=f(x^(1/2^n))=....
因为 x, x^(1/2), ...., x^(1/2^n), .... -------> 1 根据连续性， 于是 f（1）=lim f(x^(1/2^n))=f(x)

所以， f(x) = f(1), 对一切 x>0 成立， 如果定义域包括0， 显然根据连续性，f(0)也必须=f(1)。
即f(x)在零到正无穷上为常数。

追问

lim f(x^(1/2^n))=f(x)是怎么得出来的？

打这么多字辛苦了~~~

追答

x, x^(1/2), ...., x^(1/2^n), .... 是一列趋于1的数列，而他们的函数值不变：
f（x) = f(x^(1/2))= f(x^(1/4))=....=f(x^(1/2^n))=....
于是：f（1）=lim f(x^(1/2^n))=lim f(x) = f（X)

Answer 2

这个是很明显的吧
f(x)=f(x^2)，说明函数值与x无关，也就是只有常函数才能满足条件。

追问

“f(x)=f(x^2)，说明函数值与x无关”是什么意思？
能不能再进一步解释一下？
谢谢~~~

追答

这个很明显的呀。
如果f(x)=f(x^2)，我们就可以得出f(x)=f(x^2)＝f(x＾4)=f(x^＾8)。。。
这说明自变量的次数与函数无关呀，这不说明了函数中不含x吗？不就是常数吗？

追问

我的一种理解：
只是能判断从一个f(x)值能求出来无数个函数值，但是x^2 ，x＾4， x^8并不是连续的啊，只是孤立的点而已，怎么就能判断是所有连续的函数值都是常数了呢？

追答

你没明白我的意思
我的意思是说，函数与自变量的次数无关，也就是这个函数的式子，一次、二次、三次、四次都一样，那不说明了这个函数没有次数吗？没有次数就是常函数呀

追问

哦，明白了~~~~~~
直观上是可以理解的。
能不能给出理论证明？
书后面有个提示：f(根号x)=f(x)

追答

f(根号x)=f(x)和f(x)=f(x^2)不一样吗？就是反复的代入，以说明函数与自变量次数无关，也就是常函数