已知定义域为(0,正无穷)的函数f(x)满足:①x>1时,f(x)<0;②f(1/2)=1③对任意的正实数x,y,
都有f(xy)=f(x)+f(y).(1)求证:f(1/x)=-f(x)(2)求证:f(x)在定义域内为减函数(3)求不等式f(2)+f(5-x)≥-2的解集、...
都有f(xy)=f(x)+f(y).
(1) 求证:f(1/x)=-f(x)
(2)求证:f(x)在定义域内为减函数
(3)求不等式f(2)+f(5-x)≥-2的解集、 展开
(1) 求证:f(1/x)=-f(x)
(2)求证:f(x)在定义域内为减函数
(3)求不等式f(2)+f(5-x)≥-2的解集、 展开
2个回答
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因为f(xy)=f(x)+f(y)
f(1*1)=f(1)+f(1)=2f(1)得f(1)=0
f(1)=f(x*(1/x))=f(x)+f(1/x)=0得f(1/x)=-f(x)
假设y>x>0,因-f(x)=f(1/x)则f(y)-f(x)=f(y)+f(1/x)=f(y*(1/x))=f(y/x)
因为y>x>0,所以y/x>1,而已知"x>1时,f(x)<0",所以f(y/x)<0,所以f(y)-f(x)<0,得f(x)在定义域内为减函数
因为f(1/2)=1,所以-f(2)=f(1/2)=1得,f(2)=-1即有f(2)+f(2)=-2
f(2)+f(5-x)≥-2可化为f(2)+f(5-x)≥f(2)+f(2)即f(5-x)>=f(2)
又f(x)在定义域内为减函数,所以5-x<=2得x>=3
f(1*1)=f(1)+f(1)=2f(1)得f(1)=0
f(1)=f(x*(1/x))=f(x)+f(1/x)=0得f(1/x)=-f(x)
假设y>x>0,因-f(x)=f(1/x)则f(y)-f(x)=f(y)+f(1/x)=f(y*(1/x))=f(y/x)
因为y>x>0,所以y/x>1,而已知"x>1时,f(x)<0",所以f(y/x)<0,所以f(y)-f(x)<0,得f(x)在定义域内为减函数
因为f(1/2)=1,所以-f(2)=f(1/2)=1得,f(2)=-1即有f(2)+f(2)=-2
f(2)+f(5-x)≥-2可化为f(2)+f(5-x)≥f(2)+f(2)即f(5-x)>=f(2)
又f(x)在定义域内为减函数,所以5-x<=2得x>=3
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(1)令x=y=1且f(xy)=f(x)+f(y).
所以f(1)=f(1)+f(1)=2f(1)
所以f(1)=0
令y=1/x
则f(x×1/x)=f(x)+f(1/x)
f(1)=f(x)+f(1/x)
所以f(1/x)=-f(x)
(2)太绕了,实在不愿意想了,嘿嘿
(3)因为f(xy)=f(x)+f(y).
所以f(1)=f(2)+f(1/2)=0且f(1/2)=1
所以f(2)=-1
f(2)+f(5-x)≥-2
即f(2)+f(5-x)≥f(2)+f(2)
f(5-x)≥f(2)且f(x)在定义域内为减函数
所以5-x≤2
x≥3
当x≥3时,f(2)+f(5-x)≥-2(最好单独作答一次,这样老师看的方便,高考不易丢分,这样些就算过程不对,最起码也有答案分)
这种题的思想就是充分利用已知条件进行配凑,而且往往上一问的结论是下一问的条件,所以一问不会做并不影响下一问的作答
所以f(1)=f(1)+f(1)=2f(1)
所以f(1)=0
令y=1/x
则f(x×1/x)=f(x)+f(1/x)
f(1)=f(x)+f(1/x)
所以f(1/x)=-f(x)
(2)太绕了,实在不愿意想了,嘿嘿
(3)因为f(xy)=f(x)+f(y).
所以f(1)=f(2)+f(1/2)=0且f(1/2)=1
所以f(2)=-1
f(2)+f(5-x)≥-2
即f(2)+f(5-x)≥f(2)+f(2)
f(5-x)≥f(2)且f(x)在定义域内为减函数
所以5-x≤2
x≥3
当x≥3时,f(2)+f(5-x)≥-2(最好单独作答一次,这样老师看的方便,高考不易丢分,这样些就算过程不对,最起码也有答案分)
这种题的思想就是充分利用已知条件进行配凑,而且往往上一问的结论是下一问的条件,所以一问不会做并不影响下一问的作答
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