Question

已知定义域为(0,正无穷)的函数f(x)满足:①x>1时,f(x)<0;②f(1/2)=1③对任意的正实数x,y,

都有f(xy)=f(x)+f(y).
(1) 求证：f(1/x)=-f(x)
(2)求证：f(x)在定义域内为减函数
（3）求不等式f(2)+f(5-x)≥-2的解集、

Answer 1

因为f(xy)=f(x)+f(y)
f(1*1)=f(1)+f(1)=2f(1)得f(1)=0
f(1)=f(x*(1/x))=f(x)+f(1/x)=0得f(1/x)=-f(x)

假设y>x>0，因-f(x)=f(1/x)则f(y)-f(x)=f(y)+f(1/x)=f(y*(1/x))=f(y/x)
因为y>x>0，所以y/x>1，而已知"x>1时,f(x)<0"，所以f(y/x)<0，所以f(y)-f(x)<0，得f(x)在定义域内为减函数

因为f(1/2)=1，所以-f(2)=f(1/2)=1得，f(2)=-1即有f(2)+f(2)=-2
f(2)+f(5-x)≥-2可化为f(2)+f(5-x)≥f(2)+f(2)即f(5-x)>=f(2)
又f(x)在定义域内为减函数，所以5-x<=2得x>=3

Answer 2

（1）令x=y=1且f(xy)=f(x)+f(y).
所以f(1)=f(1)+f(1)=2f(1)
所以f(1)=0
令y=1/x
则f(x×1/x)=f(x)+f(1/x)
f(1)=f(x)+f(1/x)
所以f(1/x)=-f(x)
（2）太绕了，实在不愿意想了，嘿嘿
(3)因为f(xy)=f(x)+f(y).
所以f(1)=f(2)+f(1/2)=0且f(1/2)=1
所以f(2)=-1
f(2)+f(5-x)≥-2
即f(2)+f(5-x)≥f(2)+f(2)
f(5-x)≥f(2)且f(x)在定义域内为减函数
所以5-x≤2
x≥3
当x≥3时，f(2)+f(5-x)≥-2（最好单独作答一次，这样老师看的方便，高考不易丢分，这样些就算过程不对，最起码也有答案分）
这种题的思想就是充分利用已知条件进行配凑，而且往往上一问的结论是下一问的条件，所以一问不会做并不影响下一问的作答