Question

已知函数 f(x)是定义在R上的函数，若对于任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时,有f(x)>0。

（1）判断函数的奇偶性：
（2）判断函数f(x)在R上是增函数，还是减函数，并证明你的结论。
主要求解第一问，以及该类型题的解题思路与方法
多谢

Answer 1

（1），令x=y=0，则f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=2f（0） ∴f（0）=0
再令y=-x，则f（x-x）=f（x）+f（-x），即f（0）=f（x）+f（-x）
∴0=f（x）+f（-x） ∴f（x）=-f（-x）
∵x∈R ∴f（x）是奇函数。
判断函数的奇偶性，主要就是确定f（x）和f（-x）的关系，就是看f（x）±f（-x）=0的关系式。如果f（x）是奇函数，且f（x）在x=0处有意义，则f（0）=0

（2），令x＞y，由于f（x）是奇函数，且f（x+y）=f（x）+f（y），那么
f（x）-f（y）=f（x）+f（-y）=f（x-y）
∵x＞y ∴x-y＞0
根据题意，x-y＞0时，有f（x-y）＞0
∴f（x）-f（y）＞0
∴f（x）＞f（y）
所以，f（x）在R上时单调递增函数。