Question

已知,如图,正三角形ABC的边长为4,D为AC边上的一个动点，延长AB至点E，使BE=CD，连接DE，交BC边于点F

(1) DF与EF相等吗？，请说明理由。
（2）若D为AC边的中点，求BF的长

Answer 1

2004•苏州）已知：如图，正△ABC的边长为a，D为AC边上的一个动点，延长AB至E，使BE=CD，连接DE，交BC于点P．

（1）求证：DP=PE；

（2）若D为AC的中点，求BP的长．

解答：（1）证明：过点D作DF∥AB，交BC于F．

∵△ABC为正三角形，

∴∠CDF=∠A=60°．

∴△CDF为正三角形．

∴DF=CD．

又BE=CD，

∴BE=DF．

又DF∥AB，

∴∠PEB=∠PDF．

∵在△DFP和△EBP中，

∵

   ∠BPE=∠FPD∠PEB=∠PDFBE=FD     

，

∴△DFP≌△EBP（AAS）．

∴DP=PE．

（2）解：由（1）得△DFP≌△EBP，可得FP=BP．

∵D为AC中点，DF∥AB，

∴BF=12BC=1/2a．

∴BP=12BF=1/4a．

Answer 2

(1) DF与EF相等
.过D作DG∥AB与BC交于G，
则三角形DGC也为正三角形。DG=DC=BE，
另外∠AED=∠EDG ，∠EBF=∠DGF
故 △EBF≌△DGF 所以：DF=EF
（2）若D为AC边的中点，则DC=GC=2
BF=GF=（BC-GC）/2=（4-2）/2=1