Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）上横坐标为4的点到其焦点F的距离为5

1求抛物线的方程
2A B是抛物线上的点，若三角形OAB的垂心为F，求三角形OAB的外接圆的方程
3点C是抛物线上的动点，若以C为圆心的圆被y轴截得的弦长为4，求证：圆C过定点
回答的好再加悬赏值

Answer 1

[[[1]]]
由题设可得:
(p/2)+4=5
∴p=2
∴抛物线方程为
y²=4x.
[[[2]]]
数形结合可知
AB⊥x轴.
可设A(t².2t) B(t²,-2t), t＞0
易知,OB⊥AF
∴[2t/(t²-1)]×[2t/t²]=-1
∴t=√5
∴A(5, 2√5) B(5,-2√5)
可设外接圆圆心M(m,0)
由
|MO|=|MA|=R可得
m²=(m-5)²+20=R²
∴m=4.5=R
∴外接圆方程
(x-4.5)²+y²=4.5²
[[[3]]]
可设点C(c²,2c), 半径为r,
由题设可得:
r²-(c²)²=4
∴r²=4+c^4
∴圆C: (x-c²)²+(y-2c)²=4+c^4
整理就是:
x²+y²-2c²x+4c²-4cy=4
(x²+y²-4)+2c²(2-x)-4cy=0.
易知,取x=2,y=0,则上式恒等于0
∴圆C过定点(2,0)

追问

可设A(t².2t) B(t²,-2t), t＞0
易知,OB⊥AF
∴[2t/(t²-1)]×[2t/t²]=-1
∴t=√5
2t/t²前应该有个负号吧