Question

已知：关于x的方程x²-2（k+1）x+k²+2k-1=0…①

已知：关于x的方程x²-2（k+1）x+k²+2k-1=0…①
如果a是关于y的方程y²-（x1+x2-2k）y+（x1-k）（x2-k）=0…②的根，其中x1，x2为方程①的两个实数根，求代数式（1/a-a/a+1）÷4/a+1×a²-1/a的值
用文字语言表达一下原式为：（括号内）a分之1减a加1分之a（括号毕）除以a加1分之4乘以a分之a的平方减1.
谢谢！

Answer 1

解：根据第一个方程，x1+x2=2(k+1)，x1x2=k²+2k-1
第二方程变形整理得：y²-2y+x1x2-k（x1+x2）+k²=0
y²-2y-1=0
a=1±√2
（1/a-a/(a+1)）÷4/(a+1)×(a²-1)/a=(-a²+a+1)(a²-1)/(4*a²)=(-a²+a+1)/4-1/(4*a²)
当a=1+√2时，原式=-1+√2/4
当a=1-√2时，原式=-1-√2/4
所以原式=-1±√2/4

追问

请问可以在具体写一下原式是如何化简的么？
就是得出原式=-1±√2/4的过程
我就这里没有弄明白，越化简越复杂
麻烦了，谢谢

追答

（1/a-a/(a+1)）÷4/(a+1)×(a²-1)/a=(-a²+a+1)(a²-1)/(4*a²)=(-a²+a+1)/4-1/(4*a²)
这里有一点先强调1/(1+√2)=(1-√2)/[(1+√2)(1-√2)]=-1+√2
同理1/(1-√2)=-1-√2
当a=1+√2时，原式=[-(1+√2)²+1+√2+1]/4-1/[4*(1+√2)²]=(5+3√2)/4-(1-√2)²/[4*(-1)²]
=(-1-√2)/4-(3-2√2)/4=（-4+√2）/4=-1+√2/4
当a=1-√2时，计算方法是类似的，自己算算，结果就是原式=-1-√2/4

Answer 2

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