Question

如图,∠BAC=90°,AB=AC,BD平分∠ABC,CE⊥BD于E，BD=2CE，AF⊥BD于F 求 AF+DF／CE的值

Answer 1

首先说明一个这必然是一个初中题，楼上都用到tan22.5这种东西，不合适的

证明：

如图，廷长BA，CE交于点K,作KP⊥FA廷长线于点P

∵BD平分∠ABC

∴∠EBA=∠CBE

又∵∠BEC=∠BEK=90°且BE为公共边

∴△BCE≌△BEK （ASA）

∴EC=KE

∵∠APK=∠EFA=∠FEK=90°

∴四边形FEKP为矩形

∴PF=KE  PK∥FE

∴EC=PF

∵PK∥FE

∴∠PKA=∠EBA

∵∠BAC=90°        ∴∠EBA+∠ADB=90°

∵∠EFA=90°        ∴∠FAC+∠ADB=90°

∴∠FAC=∠EBA

∴∠FAC=∠PKA

∵∠EFA=∠BEC

∴∠FAC=∠ECA

∴∠ECA=∠EBA    又∵BA=CA

∴△BAD≌△CAK

∴AD=KA

△PAK与△AFD中

     AD=KA    ∠FAC=∠PKA    ∠APK=∠EFA

∴△PAK≌△AFD

∴PA=FD

∴（AF+FD)/EC  =(AF+PA)/KE =PF/KE=1

Answer 2

最佳答案:1
因为三角形AFD相似于三角形CED,
所以相似比=AD/DC,再在三角形ABC中使用内角平分线定理得AB/BC =AD/DC
所以(AF+DF)/CE=AF/CE + DF/CE
=1/根号2 + DF/DE X DE/CE
=根号2/2 + 根号2/2 X DE/CE
又因为在直角三角形CDE中，易得DE/CE=根号2 -1
所以最终结果为 1.
注：（<DCE= 1/2<B恰为π/8, 而π/8的正切值=根号2-1）

Answer 3

解：因为∠BAC=90°，AB=AC
所以△BAC是等腰直角三角形，∠ABC=∠ACB=45°
因为BD平分∠ABC
所以∠ABD=22.5°，AD/CD=AB/BC=√2/2
因为△BAD是直角三角形，AF⊥BD
所以∠DAF=∠ABD=22.5°
所以DF/AF=tan∠DAF=tan22.5°
tan45°=2tan22.5°/[1-(tan22.5°)²]
tan22.5°=√2-1 （-√2-1舍去）
DF=(√2-1)AF
DF+AF=√2AF
因为∠ADF=∠CDE，∠AFD=∠CED
∠ADF+∠AFD+∠FAD=180°
∠CDE+∠CED+∠DCE=180°
所以∠FAD=∠DCE
所以△ADF相似△CDE
所以AF/CE=AD/CD=√2/2
所以(DF+AF)/CE=√2AF/CE=1