Question

如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，BD平分∠ABC，AE⊥BD交BD的延长线于E，求证:BD=2AE

如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，BD平分∠ABC，AE⊥BD交BD的延长线于E，求证:BD=2AE

Answer 1

【开始打错，修改一下】
证明：
过D点，作DF//AB，交BC于F，
∴∠ABD=∠BDF【内错角相等】
∵∠ABD=∠CBD【BD平分∠ABC】
∴∠FDB=∠FBD
∴DF=BF即⊿BDF是等腰三角形
过F点，作FG⊥BD于G，则DG=BG【等腰三角形底边高即中垂线】
∵∠CAB=∠CBF，DF//AB
∴DFBA是等腰梯形
∴AD=BF
∵∠EAD=90º-∠ADE,∠CBD =90º-∠CDB,∠ADE=∠CDB【对顶角】
∴∠EAD=∠CBD
又∵∠AED=∠FGB=90º【加上BF=AD，∠EAD=∠FBG】
∴⊿AED≌⊿BGF（AAS）
∴AE=BG
∵BD=2BG
∴BD=2AE