Question

已知a∈R，函数f(x)=x|x-a|,问题（1）当a=2时，写出函数y=f(x)的单调递增区间

；（2）求函数y=f(x)在区间[1,2]上的最小值

Answer 1

（1）f(x)=x|x-2|
x>=2,f(x)=x(x-2),表示图像在x>=2部分，是增
x<2,f(x)=-x(x-2),表示图像在x<2部分，是先增后减，对称轴为x=1
所以x>=2或x<=1是单调递增区间

（2）同理图像形状不变
当a<=1时，区间[1,2]上是增，最小值=f(1)=｜a-1｜
当1<a<2时，最小值=f(a)=0
当a>=2时，最小值就是比较f(1)与f(2)的大小
当f(1)<f(2),即|a-1|<|a-2|,得a>2a不成立
当f(1)>f(2),即|a-1|>|a-2|,得a<2a成立
所以此时最小值=f(2)=|a-2|

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Answer 2

(1) ，a=2时，f(x)=x|x-2|的单调递增区间为：(-无穷，1)，(2，+无穷)。
(2) ，a＞2时，f(x)在区间(-无穷，a/2)，(a，+无穷)单调递增；
在区间(a/2，a)单调递减。
因为a＞2，所以 当2<a<=3时，1<a/2<=2<a，
函数y=f(x)在区间[1，2]上的最小值只在x=1或x=2时取得，
而f(1)=a-1 ， f(2)=2a-4。而3>=a>2，所以 f(1)>f(2)。
所以f(x)在区间[1，2]上的最小值为f(2)=2a-4；
3<a<=4时，1<a/2<=2<a，f(1)<f(2)，
所以f(x)在区间[1，2]上的最小值为f(1)=a-1；
a>4时，1<2<a/2，f(x)在区间(-无穷，a/2)，单调递增，
所以f(x)在区间[1，2]上的最小值为f(1)=a-1。
综上可知：当2<a<=3时，(x)在区间[1，2]上的最小值为f(2)=2a-4；
a>3时，f(x)在区间[1，2]上的最小值为f(1)=a-1。
(3)，函数y=f(x)在(m，n)上既有最大值又有最小值，
因为(m，n)为开区间，所以最大值，最小值只可能在极值点x=a/2，x=a处取得。
所以m<a/2 ，n>a。
故m，n的取值范围为：m<a/2，n>a。

Answer 3

（1）f(x)=x|x-2|
x>=2,f(x)=x(x-2),表示图像在x>=2部分，是增
x<2,f(x)=-x(x-2),表示图像在x<2部分，是先增后减，对称轴为x=1
所以x>=2或x<=1是单调递增区间

（2）同理图像形状不变
当a<=1时，区间[1,2]上是增，最小值=f(1)=｜a-1｜
当1<a<2时，最小值=f(a)=0
当a>=2时，最小值就是比较f(1)与f(2)的大小
当f(1)<f(2),即|a-1|<|a-2|,得a>2a不成立
当f(1)>f(2),即|a-1|>|a-2|,得a<2a成立
所以此时最小值=f(2)=|a-2|