Question

如图，ΔABC中，AB=AC,∠BAC=90°,D是BC上任意一点，则BD²+CD²=2AD²,请说明理由.

Answer 1

解：过D分别作垂线交AC，AB于F，E。
△DFC和△BED皆为等腰直角△，
则有：
(CD^2)=2(DF^2) ①
(BD^2)=2(DE^2) ②
则 ①+② 得 (CD^2)+(BD^2)=2[(DF^2)+(DE^2)]
化简，得 (CD^2)+(BD^2)=2(EF^2) ③
又AFDE是矩形，有： EF=AD (矩形对角线相等) ④
由③④得 (CD^2)+(BD^2)=2(AD^2)

追问

怎么证明△DFC和△BED皆为等腰直角△

追答

下面的方法这样证明 △DFC和△BED皆为等腰直角△。
∵AB=AC,∠BAC=90°
∴△ABC为等腰直角△。
则 ∠ABC=∠ACB=45°
由DE//AC，得∠BDE=∠ACB=45° ①
又∠ABC=45°，∠BED=90° ②
由①②得 △BED为等腰直角△。
由DF//AB，得∠FDC=∠ABC=45° ③
又∠ACB=45°，∠DFC=90° ④
由③④得 △DFC为等腰直角△。
∴△DFC和△BED皆为等腰直角△。

Answer 2

作AH⊥BC于H，则有BD+DH=AH=CD-DH，得到DH=(CD-BD)/2，AH=(CD+BD)/2 ，
带入DH²+AH²=AD²，就得到BD²+CD²=2AD² ■