Question

分解因式(b+c-a-d)^4(b-c)(a-d)+(c+a-b-d)^4(c-a)(b-d)+(a+b-c-d)^4(a-b)(c-d)

Answer 1

一、令原式中的a－b＝0，得：a＝b，∴此时
　　原式＝（c－d）^4（b－c）（a－d）＋（c－d）^4（c－b）（a－d）＝0。
　　∴原式中必有因式（a－b）。
二、令原式中的a－c＝0，得：a＝c，∴此时
　　原式＝（b－d）^4（b－c）（a－d）＋（b－d）^4（c－b）（a－d）＝0。
　　∴原式中必有因式（a－c）。
三、令原式中的a－d＝0，得：a＝d，∴此时
　　原式＝（c－b）^4（c－a）（b－d）＋（b－c）^4（d－b）（c－a）＝0。
　　∴原式中必有因式（a－d）。
四、令原式中的b－c＝0，得：b＝c，∴此时
　　原式＝（a－d）^4（c－a）（b－d）＋（a－d）^4（a－c）（b－d）＝0。
　　∴原式中必有因式（b－c）。
五、令原式中的b－d＝0，得：b＝d，∴此时
　　原式＝（c－a）^4（b－c）（a－d）＋（a－c）^4（a－d）（c－b）＝0。
　　∴原式中必有因式（b－d）。
六、令原式中的c－d＝0，得：c＝d，∴此时
　　原式＝（b－a）^4（b－c）（a－d）＋（（a－b）^4（d－a）（b－c）＝0。
　　∴原式中必有因式（c－d）。

综上所述，原式中必有因式（a－b）（a－c）（a－d）（b－c）（b－d）（c－d）。

∵原式是6次式，而（a－b）（a－c）（a－d）（b－c）（b－d）（c－d）也是6次式，
∴原式＝m（a－b）（a－c）（a－d）（b－c）（b－d）（c－d）。其中m为待定系数。

令a、b、c、d依次为0、1、2、3，得：
（1＋2－3）^4（1－2）（－3）＋（2－1－3）^4×2（1－3）＋（1－2－3）^4（－1）（2－3）
＝m（－1）（－2）（－3）（1－2）（1－3）（2－3），
∴－4×（－2）^4＋（－4）^4＝12m，∴m＝（4^3－2^4）/3＝4^2（4－1）/3＝16。

∴原式＝16（a－b）（a－c）（a－d）（b－c）（b－d）（c－d）。