Question

在三角形ABC中，角ABC的对边长分别为abc若bcosC+（2a+c）cosB=0

（1）求角B大小；(2)若B=2,求三角形ABC面积最大值

Answer 1

因为 a=2RsinA b=2RsinB,c= 2RsinC
bcosC+(2a+c)cosB=0
sinBcosC+2sinAcosB+sinCcosB=0
(sinBcosC+cosBsinC)+2sinAcosB=0
sin(B+C)+2sinAcosB=0

而 sinA=sin(180-(B+C))=sin(B+C)
则sinA+2sinAcosB=0
sinA(1+2cosB)=0
因为A是三角形的内角，A不等于0，所以sinA不等于0
于是，1+2cosB=0
那么 cosB=-1/2
<B=120度
2）设a边上的高为h,
那么h=csin60º=√3/2 c
三角形ABC的面积为 S=1/2ah=√3/4 ac
因为
b²=4=a²+c²-2accosB=a²+c²+ac
ac=4-(a²+c²)
则，S=√3/4(4-(a²+c²)
当a=c 时，a²+c²有最小值
此时，S有最大值
也就是三角形ABC是等腰三角形时面积有最大值。
那么两底角A,C都是30度
b边上的高为 tan30º=√3/3
于是面积S最大值=1/2*2*√3/3=√3/3

sinBcosC+2sinBcosBcosC+2cos²BsinC+sinCcosB=0

Answer 2

由正弦定理得:
sinBcosC+2sinAcosB+sinCcosB=0
sin(B+C)+2sinAcosB=0
sinA+2sinAcosB=0
cosB=-1/2
B=120度
由余弦定理得:
a=2/sinB*sinA
c=2/sinB*sinC
S=1/2acsinB=4sinAsinC/根3
其中sinAsinC=sinBsin(pi/3-B)=sinB[根3/2cosB-1/2sinB]=根3/2sinBcosB-1/2sin^2B=根3/4sin2B-1/4+cos2B/4
=1/2{sin(2B+30度)}-1/4
当B=C=30度时,有面积的最大值.为1/根3