Question

已知:如图,三角形ABC内接于圆O,AB为直径,∠CBA的平分线交AC于点F,交圆O于点D，DE⊥AB于点E且交AC于点P，连

接AD 1求证∠DAC=∠DBA 2求证P是线段AF的中点

Answer 1

解：（1）∵BD平分∠CBA，
∴∠CBD=∠DBA，
∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，
∴∠DAC=∠CBD，
∴∠DAC=∠DBA；

（2）∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∵DE⊥AB于E，
∴∠DEB=90°，
∴∠ADE+∠EDB=∠ABD+∠EDB=90°，
∴∠ADE=∠ABD=∠DAP，
∴PD=PA，
∵∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°，且∠ADB=90°，
∴∠PDF=∠PFD，
∴PD=PF，
∴PA=PF，
即：P是AF的中点；

Answer 2

(1)∵一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
∴∠ACB=∠ADB(二者都是直角)
且对顶角∠DFA=∠CFB，即△DFA∽△CFB
∴∠DAF=∠DAC=∠CBD
又∵BD为∠CBA的平分线，即∠DBA=∠CBD，所以∠DAC=∠DBA
(2)△ADB中，∠DAB+∠DBA=90°；在△ADE中，∠DAE+∠ADE=90°，且∠DAE=∠DAE，
∴∠ADE=∠DBA
又因上式中∠DAC=∠DBA，∠DBA=∠CBD，∴∠DAC=∠ADE
∴AP=PD
设∠ADE=∠CBD=∠DBA=∠DAC=x
∠ADE=90°-x，∠AFD=∠BFC=90°-x，即∠EDF=∠AFD
∴PD=PF
∴AP=PF，即P点事线段AF的中点
本人数学学的不是很好，如果有错误或是有更简便的算法，欢迎指正。

Answer 3

（1）证明：∵BD平分∠CBA，
∴∠CBD=∠DBA，
∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，
∴∠DAC=∠CBD，
∴∠DAC=∠DBA；

（2）证明：∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∵DE⊥AB于E，
∴∠DEB=90°，
∴∠ADE+∠EDB=∠ABD+∠EDB=90°，
∴∠ADE=∠ABD=∠DAP，
∴PD=PA，
∵∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°，且∠ADB=90°，
∴∠PDF=∠PFD，
∴PD=PF，
∴PA=PF，
即：P是AF的中点；

（3）解：∵∠DAF=∠DBA，∠ADB=∠FDA=90°，
∴△FDA∽△ADB，
∴ADDB=AFBA，
由题意可知圆的半径为5，
∴AB=10，
∴ADBD=AFBA=15210=34，
∴在Rt△ABD中，tan∠ABD=ADBD=34，
即：tan∠ABF=34

Answer 4

解：（1）∵BD平分∠CBA，
∴∠CBD=∠DBA，
∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，
∴∠DAC=∠CBD，
∴∠DAC=∠DBA；

（2）∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∵DE⊥AB于E，
∴∠DEB=90°，
∴∠ADE+∠EDB=∠ABD+∠EDB=90°，
∴∠ADE=∠ABD=∠DAP，
∴PD=PA，
∵∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°，且∠ADB=90°，
∴∠PDF=∠PFD，
∴PD=PF，
∴PA=PF，
即：P是AF的中点；

Answer 5

还有第三题呢 - - 若圆O的半径为5，AF等于15/2.求DF/AD的值