Question

已知椭圆的两焦点为F1(-1，0)，F2(1，0)，并且经过点M(1，3/2) （1）求椭圆C的方程 （2）

已知椭圆的两焦点为F1(-1，0)，F2(1，0)，并且经过点M(1，3/2)
（1）求椭圆C的方程
（2）已知圆O：x²+y²=1，直线L：mx+ny=1，证明当点p(m，n)在椭圆C上运动时，直线L与圆O恒相交；并求直线L被圆O所截得的弦长的取值范围

Answer 1

解：
(1)设椭圆C的方程是x²/a²+y²/b²=1(a>b>0).
∵两焦点为F1(-1，0)，F2(1，0)
∴c=1
∴a²-b²=c²=1
∴a²=b²+1
∴椭圆C的方程：x²/(b²+1)+y²/b²=1.
∵椭圆经过点M(1，3/2)
∴1/(b²+1)+(9/4)/b²=1
∴b²+(9/4)(b²+1)=b²(b²+1)
∴(13/4)b²+9/4=(b²)²+b²
∴(b²)²-(9/4)b²-9/4=0
∴4(b²)²-9b²-9=0
∴(b²-3)(4b²+3)=0
∵b²>0
∴4b²+3>3>0
∴b²-3=0
∴b²=3
∴a²=b²+1=4
∴椭圆C的方程是x²/4+y²/3=1.
(2)设圆心O(0，0)到直线L的距离是d，则d=1/√(m²+n²).
∵点P(m，n)在椭圆C上
∴m²/4+n²/3=1
∵m²≥m²/4，n²≥n²/3
∴m²+n²≥m²/4+n²/3=1
∴√(m²+n²)≥1
∴d=1/√(m²+n²)≤1=R
∴直线L与圆O恒相交.
设所截得的弦长的一半为t，则t²+d²=R².
则t=√(R²-d²)=√[1-1/(m²+n²)].
∵m²/4+n²/3=1
∴n²/3=1-m²/4
∴n²=3-3m²/4
∴m²+n²=m²+(3-3m²/4)=m²/4+3
∴t=√[1-1/(m²+n²)]=√[1-1/(m²/4+3)]
∵m²/4+n²/3=1，n²≥0，即n²/3≥0
∴m²/4≤1
∵m²≥0
∴m²/4≥0
∴0≤m²/4≤1
∴3≤m²/4+3≤4
∴1/4≤1/(m²/4+3)≤1/3
∴2/3≤1-1/(m²/4+3)≤3/4
∴(√6)/3≤√[1-1/(m²/4+3)]≤(√3)/2